Задачи со следствиями из 1 и 2 зам. пределов.
Вспомнить теорию:
.
Следствия из 1-го замечательного предела:
,
Задача 197. Найти предел .
Решение. С помощью преобразований получим в знаменателе такое же выражение, как под знаком синуса в числителе.
= = = = .
Второй предел вообще не содержит неопределённости, а первый это в точности если переобозначить .
Ответ. .
Задача 198. Найти предел .
Решение. = = = 5.
Ответ. 5.
Задача 199. Найти предел .
Решение. = =
= =
= 24.
Сначала домножили на сопряжённое выражение, потом вынесли в отдельный множитель ту часть, где нет неопределённости. В конце домножили на 6 в знаменателе и числителе, чтобы в знаменателе образовалось ровно такое же выражение, как под знаком синуса, то есть .
Ответ. 24.
Задача 200. Найти предел .
Решение. Эту задачу можно решить с применением тригонометрических формул.
Способ 1. По формуле . Получается
= = = 2.
Способ 2. = = = 2.
Ответ. 2.
Задача 201. Найти предел .
Решение. = = =
= (замена ) =
= .
Ответ. 3.
«2-й замечательный предел».
Вспомнить формулы:
Следствия из 2-го замечательного предела.
, .
Эквивалентности бесконечно малых, следующие из 2 зам. lim
Задача 202. Найти предел .
Решение. Здесь целая часть 1 выделена в явном виде. Остаётся только домножить и найти предел в степени.
= =
|
|
= = = = = .
Ответ. .
Задача 203. Найти предел .
Решение. = =
= = = .
Ответ. .
Задача 204. Найти предел .
Решение. Здесь неопределённость . Основание стремится к 1, так как здесь одинаковые старшие степени многочленов в числителе и знаменателе, и одинаковые коэффициенты при них. Отделим от дроби её целую часть, то есть 1.
= = = .
Слагаемое, которое следует после 1, стремится к 0, что и должно быть для 2 замечательного предела. Далее,
= =
= = = . Ответ. .
Задача 205. Найти предел .
Решение. Здесь сначала заметим, что основание стремится к 7/7 = 1. А степень к бесконечности. То есть, неопределённость типа и можно использовать 2-й замечательный предел. Сначала выделяем целую часть дроби, то есть 1. Прибавим и отнимем 1, но ту, которую отняли, представим в таком виде, чтобы она объединилась с дробью.
= = =
= теперь после 1 следует бесокнечно-малая, которая обращается в 0 при , ведь там числитель . Далее, в степени домножаем обратную к этой дроби, но при этом и её саму тоже, чтобы ничего не изменилось.
= =
использовали тот факт, что .
Далее, получаем =
= = .
Ответ. .
Задача 206. Найти предел .
Решение. Заметим, что основание стремится к 1, неопределённость типа , можно использовать 2-й замечательный предел.
|
|
= = =
= = = =
= = .
Ответ. .
Задача 207. Найти предел .
Решение. = = = =
= =
= = .
Ответ. .
Замечание. Некоторые особенности вычислений, в которых не требуется второй замечательный предел. Если основание стремится не к 1, а к числу a<1 а степень к бесконечности, то можно сразу сделать вывод, что предел 0. Если a>1 то наоборот, .
, .
Если основание и показатель стремятся к соответственно, то 2-й зам. предел не требуется, а ответ .
.
Задачи со следствиями из 1 и 2 зам. пределов.
Задача 208. Найти предел .
Решение. Применяя эквивалентность бесконечно-малых,
= = = .
4х 5x
5x Sin(5x)
Ответ. .
Задача 209. Найти предел .
Решение. = =
= . Введём замену
Тогда = (с помощью эквивалентных) или
= = (с помощью метода Лопиталя).
Ответ. 1.
Замечание. Почему выражение мы здесь не домножаем на сопряжённое, а делали методом Лопиталя. Тогда получилось бы = , то есть в таких выражениях, в отличие от иррациональностей, формулу сокращённого умножения и структуру применять бесполезно, потому что это даёт точно такое же выражение, стремящееся к .
|
|
Задача 210. Найти предел
Решение. Способ 1. С помощью замены на эквивалентную бесконечно-малую. Можно выделить 1 под знаком логарифма, получить выражение типа . Затем воспользоваться эквивалентностью
= = =
= 6.
Способ 2. По правилу Лопиталя = 6.
Ответ. 6.
Домашняя задача. Найти предел . Ответ. .
Дата добавления: 2020-11-29; просмотров: 95; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!