Основные способы интегрирования
1.Метод непосредственного интегрирования
заключается в использовании основных свойств неопределённого интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличному виду.
Пример 2.
Используя таблицу и основные свойства неопределённого интеграла, найти интеграл:
а) ; б)
Решение.
б) Почленно поделим числитель подынтегральной дроби на знаменатель: . Отсюда
2. Метод подстановки (замена переменной)
Замена переменной в неопределённом интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
1). х=φ(t), где φ(t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид
Из формулы следует, что для вычисления интеграла с помощью подстановки x=φ(t) надо в функции f(x) заменить х через φ(t) и положить
2). u=ψ(x), где u – новая переменная. Формула замены переменной в этом случае имеет вид
Полученные после применения той или иной подстановки интегралы должны быть более удобны для интегрирования, чем исходные.
Пример 3.
Найти интеграл, используя подходящую подстановку:
а) ; б) ; в) .
Решение.
а) Применим подстановку t=7x-1. Тогда dt=7dx, откуда dx=1/7dt. Поэтому
Возвращаясь к переменной х, получим окончательно:
б) Подынтегральное выражение содержит сложную функцию sin(x3+1), поэтому стоит попробовать подстановку t= x3+1. Тогда dt=d(x3+1)=3x2dx, откуда x2dx=1/3dt. Таким образом,
|
|
в) Сделаем замену t=x2+1, тогда , .
Мы избавились от знака модуля в последнем выражении, так как х2+1>0, для любых х.
Пример 4.
Найти интеграл, используя подходящую подстановку х=φ(t):
а) ; б) .
Решение.
а) Сделаем такую замену х=φ(t), чтобы подкоренное выражение 1-х2 стало полным квадратом. Например x=sint. Тогда dx=costdt:
Учитывая, что t=arcsin x, получим окончательно:
б) Сделаем замену x=t2, чтобы корни извлекались нацело, тогда dx=2tdt, t=√x :
Понятие об определенном интеграле
Теорема Ньютона–Лейбница
Теорема Ньютона – Лейбница.
Пусть f – данная функция, F – её произвольная первообразная. Тогда
Определённый интеграл – это разность значений любой первообразной функции для f)x) при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Алгоритм нахождения определённого интеграла .
I. Найти первообразную функцию F(x) для функции f(x).
II.Вычислить значение F(x) при х=b ( b – верхний предел).
III.Вычислить значение F(x) при х=а ( а – нижний предел).
IV.Вычислить разность .
Пример 5.
Вычислить определённые интегралы:
а) ; б) ; в) .
Решение.
а)
б) ;
Основные свойства определённого интеграла
1.При перестановке пределов изменяется знак интеграла:
.
2.Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
|
|
.
3.Переменную интегрирования можно обозначать любой буквой:
.
4.Определённый интеграл суммы функций равен сумме определённых интегралов этих функций:
.
5.Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак определённого интеграла:
.
Пример 6.
Используя свойства определённого интеграла, вычислить интегралы:
а) ; б) .
Решение.
Дата добавления: 2020-11-29; просмотров: 101; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!