Домашнее задание Составить конспект по теме урока.

Компланарные векторы.

Определение. Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Понятно, что любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести единственную плоскость.

Если же рассмотреть три вектора, то они могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

Компланарными они будут в том случае, когда среди них есть пара коллинеарных векторов.

Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко изобразить равный в этой плоскости.

Так мы получаем, что два вектора всегда будут компланарными, а три вектора будут компланарными, если среди них есть пара коллинеарных векторов.

Задача.

прямоугольный параллелепипед.

Компланарны ли векторы?

а) , ,

б) , ,

Решение.

Первой рассмотрим тройку .

Через векторы и проведём плоскость ACC₁.

Рассмотрим следующую тройку векторов. .

1 случай. Любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них
можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести
единственную плоскость.

2 случай. Три вектора будут компланарными если среди них есть пара коллинеарных
векторов. Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему
можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко
изобразить равный в этой плоскости.

3 случай. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны

Теорема, выражающая признак компланарности трех векторов.

Теорема (признак) Если вектор можно представить в виде = х + у , где х и у - некоторые числа, то векторы , и компланарны.

Рассмотрим два неколлинеарных вектора и , отложим их от некоторой точки О. Далее проведём через них плоскость.

Очевидно, что в этой же плоскости лежат векторы x и y .

По правилу параллелограмма построим вектор суммы векторов x и y . Полученный вектор суммы равен вектору . А по рисунку становится понятно, что векторы , и действительно лежат в одной плоскости, а значит, они компланарны.

Для сложения трёх некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда. Отложим от произвольной точки О векторы = , = , = и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были рёбрами.
Тогда ОD - диагональ этого параллелепипеда равна сумме векторов , и . Если вектор можно представить в виде суммы: = х + у + z , то говорят, что вектор d разложен по векторам , и . Числа х, у, z называют коэффициентами разложения.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Закрепление .Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Задача 1. В параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ М —точка пересечения диагоналей грани A₁B₁C₁D₁, точка K — середина ребра ВВ₁. Докажите, что прямые А₁В₁, KМ и ВС₁ параллельны некоторой плоскости.