Задачи по теме «Комбинаторика»
1. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз?
Решение.
Число должно оканчиваться одной из 5 комбинаций: 12, 24, 32, 44, 52. Первые же цифры могут быть произвольными. 5× чисел.
2. На полке находятся m+n различных книг, из которых m в черных переплетах, а n в красных. Сколько существует перестановок этих книг, при которых книги в черных переплетах занимают первые m мест? Сколько положений, в которых все книги в черных переплетах стоят рядом?
Решение.
Книги в черных переплетах можно переставить m! Способами, а в красных – n! способами, всего способов m!n!. Если книги в черных переплетах стоят рядом, то надо еще выбрать для них место между книгами в красных переплетах. Это можно сделать (n+1) способами. Всего имеем m!n!(n+1) способов = m!×(n!+1)!.
3.Сколько имеется девятизначных чисел, у которых все цифры различные?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9×9×8×7×6×5×4×3×2=9×9!
4.Сколько существует целых чисел от 0 до 999, которые не делятся ни на 5, ни на 7?
Количество чисел, делящихся на 5, равно .
Количество чисел, делящихся на 7, равно .
Количество чисел, делящихся на 5 и на 7 - . По формуле включений и исключений имеем:
1000- - + =686 чисел не делятся ни на 5, ни на 7.
5. Сколько существует целых чисел от 0 до 999, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7?
|
|
6. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 123153?
Четырехзначное число можно составить либо из четырех различных цифр (1, 2, 3, 5), либо из двух одинаковых и двух различных (1,1,2,3; 1,1,2,5; 1,1,3,5; 1,2,3,3; 1,3,3,5; 2,3,3,5). Либо из двух пар одинаковых цифр (1,1,3,3). Поэтому общее число чисел равно: P4 + 6Р(2,1,1)+Р(2,2)=24+6×12+6=10
7. Сколькими способами можно разложить в два кармана 9 монет различного достоинства?
Каждая монета может попасть в один из этих карманов. Имеем 29 способов.
8. сколькими способами можно переставить буквы слова «логарифм» так, чтобы второе, четвертое и шестое места были заняты согласными?
Выберем три согласные и поставим их на заданные места . Оставшиеся 5 букв произвольным образом расставим на остальные 5 мест (Р5=5!). Всего способов.
9. Сколькими способами можно выбрать из слова «логарифм» две согласных и одну гласную букву? Та же задача, если среди выбранных букв есть «ф»?
Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 1534; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!