График какой из функций изображен на рисунке?

Лекция: Понятие функции. Основные свойства функции.

Опр.: Правило (закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.

Функция считается заданной, если:

- задана область определения функции X ;

- задана область значений функции Y ;

- известно правило (закон) соответствия, причем такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции. Это требование однозначности функции является обязательным.

Опр.: Множество X всех допустимых действительных значений аргумента, при которых функция y = f (x) определена, называется областью определения функции.

Опр. Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции.

Рассмотрим некоторые способы задания функций.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является конечным множеством.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

Основные свойства функции.

1. Область определения функции

2. Область значений (множество значений) функции

3. Нули функции

Опр. Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

4. Промежутки знакопостоянства (функция принимает положительные, отрицательные значения)

5. Четность и нечетность

Опр. Функция называется четной, если

– область определения функции симметрична относительно нуля;

– для любого х из области определения f(-x) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси 0y (рис.5)

Опр Функция называется нечетной, если

– область определения функции симметрична относительно нуля;

– для любого х из области определения f(-x) = –f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.(рис.6)

6. Монотонность (возрастание, убывание).

Опр. Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).

Опр. Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).

7. Точки экстремума (точки максимума и точки минимума)

Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х)< f(Xmax).

Хmax – точка максимума

Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х)> f(Xmin).

Xmin – точка минимума

Xmin, Хmax – точки экстремума