Дисперсия дискретной случайной величины.
Лекция 2
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
Математическое ожидание дискретной случайной величины
При решении многих практических задач нет необходимости характеризовать случайную величину полностью (законом распределения), а достаточно в сжатой форме выразить наиболее существенные особенности.
О каждой случайной величине необходимо прежде всего знать ее некоторое среднее значение, а также какое-либо число, характеризующее степень разбросанности ее возможных значений относительно среднего. Это так называемые числовые характеристики случайной величины – математическое ожидание и дисперсия.
Рассмотрим сначала дискретную случайную величину 
, которая принимает возможные значения 
, 
, .., 
с вероятностями 
, 
, .., 
. Тогда математическое ожидание случайной величины , которое мы обозначим 
, определяется равенством
.
Если дискретная случайная величина может принимать бесконечное счетное множество значений , , .., , … с вероятностями , , .., , …, то ее математическое ожидание определяется равенством
.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности.
Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Происхождение термина “математическое ожидание” связано с начальным периодом возникновения теории вероятности (XVI-XVII в.в.), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, или иными словами – математическое ожидание выигрыша.
|
|
|
Пример 7. Дан закон распределения вероятностей дискретной случайной величины :
|
| -3 | -1 | 1 | 2 |
| 0,1 | 0,2 | 
| 0,3 |
Найти вероятность и математическое ожидание этой случайной величины.
Решение. Вероятность найдем из условия 
, тогда 
.
По определение математическое ожидание дискретной случайной величины равно
.
Свойства математического ожидания
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.
.
Доказательство. Будем рассматривать постоянную 
как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью 
. Следовательно, 
.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
.
Доказательство. Если случайная величина задана законом распределения
|
|
|
| … |
|
|
|
|
| … |
|
то в силу первого действия над дискретными случайными величинами закон распределения для 
будет иметь вид:
|
|
|
|
| 
| 
| … | 
|
|
|
|
| … |
|
Тогда
.
Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожидание слагаемых:
.
Доказательство. Чтобы упростить вывод, мы ограничимся лишь двумя возможными значениями каждой из величин.
|
|
|
| 
| 
| 
| |||
|
|
|
| 
| 
| 
|
Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины для суммы 
в силу второго действия над дискретными случайными величинами:
|
| 
| 
| 
| 
|
|
| 
| 
| 
| 
|
Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности, т.е.
.
Сумма вероятностей в скобках равна единице, поэтому окончательно получим:
.
Свойство 4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.
Доказательство аналогичное предыдущему.
Пример 8. Две независимые случайные величины заданы законами распределения:
|
| -2 | 0 | 1 | 3 |
| -5 | 1 | 4 | |||
|
| 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
| 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Вычислить: 1) 
; 2) 
.
Решение.
1) Вычислим сначала математическое ожидание дискретной случайной величины .
|
|
|
.
Теперь воспользуемся первыми тремя свойствами математического ожидания:
.
2) Найдем предварительно математическое ожидание дискретной случайной величины (5.8) .
.
По 4 свойству математического ожидания:
.
Дисперсия дискретной случайной величины.
Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 58; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!