Примеры вычисления определенного интеграла
Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.
Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:
1) Уметь находить неопределенные интегралы.
2) Уметь вычислить определенный интеграл.
То есть, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах.
Пример 1
Вычислить определенный интеграл 
Решение:
(1) Выносим константу за знак интеграла.
(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы 
.
Появившуюся константу 
целесообразно отделить от 
и вынести за скобку.
(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница
Сначала подставляем в 
верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.
Пример 2
Вычислить определенный интеграл 
Решение:
Пример 3
Вычислить определенный интеграл 
Решение:
(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.
(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.
(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:
Часто в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся путаница в знаках. Будьте внимательны!
Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?
|
|
|
Так, применительно к рассматриваемому примеру: перед тем, как в первообразную функцию 
подставлять верхний и нижний пределы, желательно на черновике проверить, а правильно ли вообще найден неопределенный интеграл?
Проверяем путем дифференцирования (взятие производной) полученной первообразной:
Получили исходную подынтегральную функцию, значит, неопределенный интеграл найден верно.
Теперь можно применить формулу Ньютона-Лейбница для окончательного вычисления определенного интеграла..
Такая проверка будет не лишней при вычислении любого определенного интеграла.
Пример 4
Решение:
Пример 5 :
Приложение.
Таблица интегралов для студентов (основные формулы)
Вопрос 3. Домашнее задание
Материал по теме «Определенный интеграл» законспектировать в тетрадь по математике. Материал выучить, рассмотреть решение типовых примеров.
Домашнее задание также внести в тетрадь.
Задание будет проверено при сборе тетрадей.
Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов и их основных свойств называется непосредственным интегрированием.
|
|
|
Вычислить определенные интегралы:
Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 165; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!