Задания самостоятельной работы.
Практическая работа № 14
Тема: «Исследование функций с помощью производной и построение графиков»
Цели:
· закрепить и систематизировать теоретические знания,
· формировать умения и навыки решения задач по исследованию функции с помощью производной.
В результате выполнения работы студент должен знать связь производной функции со свойствами монотонности функции: возрастанием, убыванием и экстремумами.
Должен уметь исследовать функцию с помощью производной.
План выполнения практической работы
1. Изучение методических рекомендаций по решению задач и выполнение упражнений и задач .
2. Выполнение практической самостоятельной работы по вариантам.
3. Письменные ответы на контрольные вопросы
Задания для практической работы .
Методические рекомендации по решению упражнений и задач.
Пример 1: Провести полное исследование функции 
и построить ее график
Решение:
1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения 
2) Выясним, является ли функция четной или нечетной: 
.
Отсюда следует, что функция является нечетной, т.е. график симметричен относительно начала координат.
3) Найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью ОХ: решим уравнение 
. 
Точки пересечения с осью ОХ 
- с осью ОY: 
Точка пересечения с осью ОY 
4) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.
|
|
|
5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: 
.
Критические точки: 
.
| 
| -1 | 
| 1 | 
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| 
| т. max 2 | 
| т. min -2 | 
|
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции: 
Критические точки: 
.
|
| 
| 0 | 
|
| - | 0 | + |
|
| 
| точка перегиба 0 | 
|
7) По результатам исследования построим график функции: 
Пример 2: Провести полное исследование функции и построить её график. 
Решение: 1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: 
.
, значит, данная функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.
Очевидно, что функция непериодическая.
2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
Так как функция непрерывна на R, то вертикальные асимптоты отсутствуют
В ходе решения используем правило Лопиталя: Если существует предел отношения бесконечно больших в точке 
функций: 
, то в целях устранения неопределённости 
можно взять две производные – ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. При этом: 
, то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.
|
|
|
Примечание: предел 
должен существовать
Прямая 
(ось 
) является горизонтальной асимптотой графика при 
.
Из непрерывности на R и существования горизонтальной асимптоты следует тот факт, что функция ограничена сверху и ограничена снизу.
3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства.
График 
проходит через начало координат.
Других точек пересечения с координатными осями нет. Более того, интервалы знакопостоянства очевидны, и ось можно не чертить: 
, а значит, знак функции зависит только от «икса»:
, если 
; 
, если 
.
4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.
– критические точки.
Точки симметричны относительно нуля. Определим знаки производной:
Функция возрастает на интервале 
и убывает на интервалах 
В точке 
функция достигает максимума: 
.
В силу свойства 
(нечётности функции) минимум можно не вычислять: 
Поскольку функция убывает на интервале 
, то, очевидно, на «минус бесконечности» график расположен под своей асимптотой. На интервале 
функция тоже убывает, но здесь всё наоборот – после перехода через точку максимума линия приближается к оси уже сверху.
Из вышесказанного также следует, что график функции является выпуклым на «минус бесконечности» и вогнутым на «плюс бесконечности».
|
|
|
5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика. 
– критические точки.
Определим знаки 
:
График функции является выпуклым на 
и вогнутым на 
.
Во всех критических точках существуют перегибы графика. Найдём ординаты точек перегиба, при этом снова сократим количество вычислений, используя нечётность функции: 
6) Дополнительные точки целесообразно рассчитать только для правой полуплоскости: 
Выполним чертёж:
Задания самостоятельной работы.
Вариант 2 вариант
1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график:
у= х3 – 3х2 + 4.
2. Исследуйте и постройте график функции 
| 1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график:
f(x) = x4 -2x2 – 6
2. Исследуйте и постройте график функции
|
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте алгоритм полного исследования функции.
Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 132; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!