Закон распределения дискретной случайной величины

Тема 1.1. Случайные события

Задача 1

В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

Решение: важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов.

Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:

– извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов), при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30 шаров).

Таким образом, общее число исходов:

Рассмотрим событие: – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.

Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара ». В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь следует обязательно прописать!

С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:

– из урны будет извлечён красный шар;
– из урны будет извлечён чёрный шар.

Событию благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию – 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:

Проверка задач по ТВ осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу. В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .

Проверяем:

Ответ:

Быстрый вариант оформления решения:

Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.

Ответ:

Задача 2

Стрелок совершает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна . Найти вероятность того, что:

а) стрелок попадёт только один раз;
б) стрелок попадёт 2 раза.

Решение: условие сформулировано в общем виде и вероятность попадания в мишень при каждом выстреле считается известной. Она равна (если совсем тяжко, присвойте параметру какое-нибудь конкретное значение, например, ).

Коль скоро мы знаем , то легко найти вероятность промаха в каждом выстреле:
, это тоже известная нам величина.

а) Рассмотрим событие «Стрелок попадёт только один раз» и обозначим его вероятность через (индексы понимаются как «одно попадание из четырёх»). Данное событие состоит в 4 несовместных исходах: стрелок попадёт в 1-й или во 2-й или в 3-й или в 4-й попытке.

Упростим результат с помощью комбинаторной формулы способами можно выбрать попытку, в которой стрелок попал.

И, поскольку в каждом случае имеет место 1 попадание и 3 промаха, то: где– вероятность того, что стрелок попадёт только один раз из четырёх

б) Рассмотрим событие «Стрелок попадёт два раза» и обозначим его вероятность через («два попадания из четырёх»). Здесь вариантов становится больше, попадания возможны:

Или
способами (перечислены выше) можно выбрать 2 попытки, в которых произойдут попадания.

И, поскольку в любом исходе ровно 2 попадания и 2 промаха, то:
– вероятность того, что стрелок попадёт 2 раза из 4.

Ответ:

Решить самостоятельно

Задача

Игральную кость бросают 6 раз. Найти вероятность того, что 5 очков:

а) не выпадут (выпадут 0 раз);

б) выпадут 2 раза;

в) выпадут 5 раз.

Результаты округлить до 4 знаков после запятой.

Ответ:

Тема 1.2. Случайные величины

Закон распределения дискретной случайной величины

Задача 3

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

U	-5	2,5	10
U	0,5	Р2	0,1

Найти

Решение: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Значит

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ:

Решить самостоятельно

Задача

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Ответ: искомый закон распределения выигрыша:

Математическое ожидание, дисперсия дискретной случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение

Задача 4

Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:

Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение: Основные вычисления удобно свести в таблицу. Сначала в верхние две строки записываем исходные данные. Затем рассчитываем произведения , затем и, наконец, суммы в правом столбце:

В третьей строке появилось готовое математическое ожидание: .

Дисперсию вычислим по формуле:

И, наконец, среднее квадратическое отклонение:

Решить самостоятельно

Задача

Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:

Найти

Ответ:

Математическое ожидание, дисперсия непрерывной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение

Задача 5

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

Вычислить . И построить графики .

Решение начнём с графика функции распределения. При его ручном построении удобно найти промежуточное значение и аккуратно провести кусок кубической параболы :

Таким образом:

И, наконец, среднее квадратическое отклонение:

Ответ:

Решить самостоятельно

Задача

Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого равна 0,6, второго 0,8. Составить закон распределения числа попаданий Х. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, и функцию распределения. Построить график .

Задача 6

Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – – математическое ожидание и – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала , найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

Плотность распределения определяется по формуле:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал

Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2:

Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа:

Решить самостоятельно

Задача

Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием т. и средним квадратичным отклонением т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 149; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!