Любое несвободное тело можно сделать свободным, если связи убрать, а действие их на тело заменить силами, такими, чтобы тело оставалось в равновесии.

Г. гр.1ТПС-7з

Дисциплина Техническакя механика

Преподаватель Самарский В.Т.

Занятие № 1,2

Тема : Изучение основ статики. Связи и их реакции. Момент силы относительно точки и оси.

Цель дидактическая: обучить студентов, давая им систему теоретических знаний, а также практических умений и навыков;

развивать мыслительные способности, их устную и письменную речь, память, воображение, навыки самоорганизации;

содействовать воспитанию нравственных или эстетических убеждений, чувств, волевых и социально-значимых качеств

Рассматриваемые вопросы:

Что такое материальная точка?

- Что такое абсолютно твердое тело?

- Какие величины называются векторными и скалярными?

- Что такое сила и какова ее размерность?

- Что называется моментом силы относительно данной точки и какова его размерность?

- Что называется реакциями связей?

- Что такое статически эквивалентная система сил?

- Что такое аксиомы статики твердого тела? Как они формулируются?

- Приведите определение понятия «сила».

- Какими приборами измеряют численное значение силы?

- Какими единицами измеряется сила в Международной системе (СИ)?

- Перечислите признаки, характеризующие силу.

- Что называется системой сил?

- Приведите примеры сосредоточенных и распределенных сил.

- Что называется равнодействующей системы сил?

- Какая сила называется уравновешивающей?

- Дайте определение внешней и внутренней силы.

- Пара сил. Момент силы относительно точки и оси.

- Плоская система произвольно расположенных сил.

- Пространственная система сил.

Учебный материал: опорный конспект.

Лекция 1. Введение. Основные понятия статики.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы

1. Введение.

2. Элементы векторной алгебры.

3. Основные понятия статики.

4. Аксиомы статики.

5. Связи и их реакции.

Изучение этих вопросов необходимо в дальнейшем для изучения центра тяжести, произвольной пространственной системы сил, сил трения скольжения, моментов трения качения, решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов».

Введение

Развитие современной техники ставит перед инженерами самые разнообразные задачи, связанные с расчетом различных сооружений (зданий, мостов, каналов, плотин и т. п.), с проектированием, производством и эксплуатацией всевозможных машин, механизмов, двигателей и, в частности, таких объектов, как автомобили, тепловозы, морские и речные суда, самолеты, ракеты, космические корабли и т. п. Несмотря на многообразие всех этих проблем, решения их в определенной части основываются на некоторых общих принципах и имеют общую научную базу. Объясняется это тем, что в названных задачах значительное место занимают вопросы, требующие изучения законов движения или равновесия тех или иных материальных тел.

Наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом взаимодействиях между телами называется теоретической механикой. Теоретическая механика представляет собой одну из научных основ современных технических дисциплин.

Механикой в широком смысле этого слова называется наука, посвященная решению любых задач, связанных с изучением движения или равновесия тех или иных материальных тел и происходящих при этом взаимодействий между телами. В качестве материальных объектов помимо дискретных тел могут выступать среды – например, жидкость или газ и поля, поэтому круг объектов, изучаемых механикой очень широк.

В зависимости от физических свойств этих объектов и их размеров всю механику можно разделить на классическую или ньютонову и неклассическую.

Неклассическая механика - это действительно часть физики, в которой исследуются объекты микро- и макромира с учетом пространственно-временной зависимости.

Классическая механика имеет дело с объектами, протяженность которых приблизительно и с точностью до нескольких порядков заключена в интервале от 10^-10 до 10¹⁰ метра. При их изучении свойства пространства и времени можно считать постоянными. Именно такую ньютонову механику мы и будем рассматривать в дальнейшем.

В зависимости от особенностей модели реальных объектов классическая механика делится на теоретическую механику - с моделью абсолютно твердого тела и механику сплошной среды с моделью деформируемого тела.

Основным методом исследования в механике является гипотетико-дедуктивный. Его суть заключается в выдвижении гипотезы, которая подтверждается или опровергается опытом.

Схематически место механики в системе естествознания можно определить так, как показано на рисунке ниже. При этом механика деформируемого тела или механика сплошной среды, образующая ядро этой науки, окружена тремя сегментами, представляющими собой теоретическую механику, неклассическую механику микро- и макромира и прикладную механику, которые примыкают соответственно: к математике, физике и практике в широком смысле этого слова.

Под прикладной механикой понимают раздел механики, в котором ее выводы и методы применяют для решения задач проектирования, строительства и эксплуатации сооружений. Этот термин близок к понятиям «техническая» или «строительная» механика.

Теоретическая механика представляет собою часть механики, в которой изучаются общие законы движения и взаимодействия материальных тел, т.е. те законы, которые, например, справедливы и для движения Земли вокруг Солнца и для полета ракеты или артиллерийского снаряда и т. п.

Под движением в механике мы понимаем механическое движение, т.е. происходящее с течением времени изменение взаимного положения материальных тел в пространстве.

Механическим взаимодействием между телами называется тот вид взаимодействия, в результате которого происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация). Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия тел, называется в механике силой.

Основной задачей теоретической механики является изучение общих законов движения и равновесия материальных тел под действием приложенных к ним сил.

По характеру рассматриваемых задач теоретическую механику принято разделять на статику, кинематику и динамику.

Статика рассматривает частный случай механического движения, когда оно не зависит от времени – речь идет о рассмотрении равновесия твердого тела, загруженного системой сил и находящегося в состоянии покоя.

Кинематика рассматривает внешнюю сторону механического движения независимо от причин, вызвавших его. Это не что иное, как геометрия в четырехмерном пространстве, где время играет роль четвертого измерения.

Если известно положение движущейся точки в каждый момент времени, то кинематика позволяет построить ее траекторию и определить такие кинематические параметры, как скорость или ускорение.

Динамика исследует общий случай механического движения твердого тела с учетом причин, вызвавших его.

Термин «механика» впервые появляется в сочинениях одного из выдающихся философов древности Аристотеля (384—322 до н. э.) и происходит от греческого слова μηχαυή, означающего по современным понятиям «сооружение», «машина», «изобретение»

В древние времена, когда запросы производства сводились главным образом к удовлетворению нужд строительной техники, начинает развиваться учение о так называемых простейших машинах (блок, ворот, рычаг, наклонная плоскость) и общее учение о равновесии тел (статика). Обоснование начал статики содержится уже в сочинения одного из великих ученых Архимеда (287 – 212 г. но н. э.).

В России на развитие первых исследований по механике большое влияние оказали труды гениального ученого и мыслителя М. В. Ломоносова (1711—1765). Из многочисленных отечественных ученых, внесших значительный вклад в развитие различных областей теоретической механики, прежде всего, должны быть названы: М. В. Остроградский (1801—1861), которому принадлежит ряд важных исследований по аналитическим методам решения задач механики; П. Л. Чебышев (1821—1894), создавший новое направление в исследовании движения механизмов; С. В. Ковалевская (1850—1891), решившая одну из труднейших задач динамики твердого тела; И. В. Мещерский (1859—1935), заложивший основы механики тел переменной массы; К. Э. Циолковский (1857—1935), сделавший ряд фундаментальных открытий в теории реактивного движения; А. Н. Крылов (1863—1945), разработавший теорию корабля и много внесший в развитие теории гироскопических приборов.

Выдающееся значение для развития механики имели труды «отца русской авиации» Н. Е. Жуковского (1847—1921) и его ближайшего ученика С. А. Чаплыгина (1869—1942). Характерной чертой в творчестве Н. Е. Жуковского было приложение методов механики к решению актуальных технических задач. Большое влияние идеи Н. Е. Жуковского оказали и на преподавание теоретической механики в высших технических учебных заведениях нашей страны.

Стоящая в наши дни перед отечественной наукой и техникой задача непрерывного роста и внедрения в производство новой техники требует дальнейшего повышения качества подготовки инженерных кадров, расширения теоретической базы их знаний. Известную роль в решении этой задачи должно сыграть и изучение одной из научных основ современной техники – теоретической механики.

Элементы векторной алгебры

В теоретической механике рассматриваются такие векторные величины как сила, моменты силы относительно точки и оси, момент пары сил, скорость, ускорение и другие.

1. Понятие вектора.

Для определенности рассматриваем прямоугольную декартову систему координат.

Вектор - это направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением.

Операции над векторами. Вектора можно складывать и умножать на число.

- сумма двух векторов есть вектор

α∙ - произведение вектора на действительное число есть вектор

- существует нулевой вектор

Рис.1

В математике все вектора являются свободными, их можно переносить параллельно самим себе.

В сумме двух векторов (рис.1,а) начало второго вектора можно поместить в конец первого вектора, тогда сумму двух векторов можно представить как вектор, имеющий начало в начале первого вектора, а конец в конце второго вектора. Применяя это правило для суммы нескольких векторов (рис.1,б) получаем, что суммой нескольких векторов является вектор замыкающий ломаную линию, состоящую из слагаемых векторов.

Операции над векторами подчиняются следующим законам (см. рис.2):

Рис.2

2. Правые и левые системы координат.

Декартовы системы координат делятся на два вида: правую и левую.

Рассмотрим декартовы системы координат на плоскости (см. рис. 3).

При повороте оси Ox правой системы координат на 90^о против часовой стрелки она совпадает с осью Oy .

Рис.3 Рис.4

Рассмотрим декартовы системы координат в пространстве (см. рис.4).

При повороте оси Ox правой системы координат вокруг оси Oz на 90⁰ против часовой стрелки она совпадает с осью Oy .

3. Длина, проекции и направляющие косинусы вектора.

В дальнейшем будем рассматривать правую декартову систему координат. Единичные вектора вдоль осей Ox, Oy и Oz образуют систему единичных (или базисных) векторов. Любой вектор, имеющий начало в точке O, можно представить как сумму , числа (a_x, a_y, a_z) - это проекции вектора на оси координат (см. рис.5).

Рис.5

Длина (или модуль) вектора определяется формулой и обозначается a или | |.

Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, которая определяется отрезком, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на эту ось. Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной (-), если проекция направлена в противоположную сторону (см. рис.6).

Рис.6

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов между вектором и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz соответственно.

Любая точка пространства с координатами (x, y, z) может быть задана своим радиус-вектором

Координаты (x, y, z) это проекции вектора на оси координат.

4. Скалярное произведение двух векторов

Имеется два вектора и .

Рис.7

Результатом скалярного произведения двух векторов и является скалярная величина (число).

Записывается как или ( , ). Скалярное произведение двух векторов равно

Свойства скалярного произведения:

5. Векторное произведение двух векторов

Имеется два вектора .

Рис.8

Результатом векторного произведения двух векторов является вектор . Записывается как или [ .].

Векторное произведение двух векторов это вектор , перпендикулярный к обоим этим векторам, и направленный так, чтобы с его конца поворот вектора к вектору был виден против часовой стрелки.

Длина (или модуль) векторного произведения равна | .

Свойства векторного произведения:

Векторное произведение двух векторов вычисляется через их проекции следующим образом:

Основные понятия статики

Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучается условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Твердое тело . В статике и вообще в теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. То есть предполагается, что эти тела не деформируются, не изменяют свою форму и объем, какое бы действие на них не было оказано. Материальной точкой будет называться абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь.

Исследованием движения нетвердых тел – упругих, пластичных, жидких, газообразных, занимаются другие науки (сопротивление материалов, теория упругости, гидродинамика и т.д.).

Под равновесием будем понимать состояния покоя тела по отношению к другим материальным телам.

Основные понятия:

1. Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой.

В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах (Н), килоньютонах (кН).

Сила является величиной векторной.

Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы (рис.9).

Например, будем прикладывать к стулу одну и ту же по модулю силу F. При приложении силы сверху вниз стул остается в состоянии покоя; при положении силы снизу вверх - стул поднимается; изменим направление нагружения, приложим силу горизонтально к спинке стула - стул опрокинется. Так как во всех случаях направление и место приложения силы различны, то и результат действия силы на стул разный, несмотря на то, что модуль силы F во всех случаях одинаков.

Рис.9

Силу, как и другие векторные величины, изображают в виде направленного отрезка со стрелкой на конце, указывающей его направление.

Прямая DE, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

Понятия «линия действия» и «направление» близки, но не тождественны. Очевидно, что по линии действия можно определить направление с точностью до противоположного. Аналогично связаны понятия «модуль» и «величина» для вектора.

В тексте вектор силы обозначается латинскими буквами и др., с черточками над ними. Если черточки нет, значит у силы известна только ее численная величина - модуль.

Рис. 1.2.

Предполагается, что действие силы на тело не изменится, если ее перенести по линии действия в любую точку тела (конечно – твердого тела). Поэтому вектор силы называют скользящим вектором. Если силу перенести в точку, не расположенную на этой линии, действие ее на тело будет совсем другим.

2. Совокупность сил, действующих на какое-нибудь твердое тело, будем называть системой сил.

3. Тело, не скрепленное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным.

4. Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.

Например, если системы сил, изображенных на рис. 9.1, а и рис. 9.1, б, уравновешены, то эти две системы сил будут эквивалентны друг другу.

Рис.9.1. Система сил:

а – заданная система сил; б – эквивалентная система сил

5. Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в покое, называется уравновешеннойили эквивалентной нулю.

6. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Таким образом, равнодействующая - это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело. Так как система сил F ₁ и F ₂ эквивалентна одной силе R(рис. 9.1, б), то сила R называется равнодействующей данной системы сил. Силы F₁ и F ₂ в свою очередь могут называться составляющими силы R.

7. Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.

8. Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.

9. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными.

Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, представляют собою по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил.

В частности, обычно рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на данное твердое тело, представляет собою равнодействующую сил тяжести его частиц. Линия действия этой равнодействующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела.

Аксиомы статики.

Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой. Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики, с которыми мы познакомимся в динамике.

Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F₁ = F₂) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 10).

Рис.10

Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.

Аксиома 2. Действие данной системы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.

Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Рис.11

В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила (рис.11). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы и , такие, что , . От этого действие силы на тело не изменится. Но силы и согласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В результате на тело. Будет действовать только одна сила , равная , но приложенная в точке В.

Таким образом, вектор, изображающий силу , можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).

Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и (рис.12), называется геометрической суммой векторов и : .

Рис.12

Величина равнодействующей

Рис. 1.3.

Конечно, Такое равенство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной прямой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, то

Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке.

Аксиома 4 (принцип противодействия). При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.

Закон о равенстве действия и противодействия является одним из основных законов механики. Из него следует, что если тело А действует на тело В с силой , то одновременно тело В действует на тело А с такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой (рис. 13). Однако силы и не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены к разным телам. Эта аксиома соответствует третьему закону Ньютона: действие всегда равно и противоположно противодействию. При этом необходимо помнить, что в аксиоме 4 рассматривается случай, когда силы приложены к разным телам и в этом случае система сил не является уравновешенной в отличие от случая действия сил в аксиоме 2.

Рис.13

Этот принцип утверждает, что в природе не существует односторонних явлений. На рис. 13.1 изображена балка, опирающаяся на стены концами А и В. Для выявления сил действия и противодействия отделим балку от стен. Тогда силы действия балки на стену выражаются силами D_A и D_B_, приложенными к стенам, а силы противодействия - силами R_A и R_B, приложенными к балке, которые в дальнейшем будем называть реакциями.

Рис. 13.1. Опирание балки на опоры:

а – схема загружения балки; б – силы действия балки на

опоры и противодействия со стороны опор на балку

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым). Из принципа отвердения следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела, необходимы, но не достаточны для равновесия деформируемого тела, по форме и размерам тождественного с данным.

Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сваренными друг с другом и т. д.

Аксиома 6 (аксиома связей).Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если механическое действие связей заменить реакциями этих связей (пояснения к этой аксиоме в следующем параграфе).

Приведенные принципы и аксиомы положены в основу методов решения задач статики. Все они широко используются в инженерных расчетах.

Связи и их реакции.

По определению, тело, которое не скреплено с другими телами и может совершать из данного положения любые перемещения в пространстве, называется свободным(например, воздушный шар в воздухе). Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным. Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, будем называть связью.

Например, тело лежащее на столе – несвободное тело. Связью его является плоскость стола, которая препятствует перемещению тела вниз.

Очень важен так называемый принцип освобождаемости, которым будем пользоваться в дальнейшем. Записывается он так.

Любое несвободное тело можно сделать свободным, если связи убрать, а действие их на тело заменить силами, такими, чтобы тело оставалось в равновесии.

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем ила иным его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи или просто реакцией связи.

Так у тела, лежащего на столе, связь – стол. Тело несвободное. Сделаем его свободным – стол уберем, а чтобы тело осталось в равновесии, заменим стол силой, направленной вверх и равной, конечно, весу тела.

Направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Когда связь одновременно препятствует перемещениям тела по нескольким направлениям, направление реакции связи также наперед неизвестно и должно определяться в результате решения рассматриваемой задачи.

Если в качестве физического тела рассматривать какой-либо элемент инженерного сооружения (балка, ферма, колонна, плита и т. п.), который передает давление на опоры, то реакции опор (связей) называют опорными реакциями. Реакции связей носят вторичное происхождение, они возникают как противодействие другим силам.

Все силы, кроме реакции связей, называют заданными силами. Термин «заданные силы» имеет глубокий смысл. Заданные силы чаще всего являются активными, т.е. силами, которые могут вызвать движение тел, например: сила тяжести, снеговая или ветровые нагрузки и т.п. Учитывая сказанное выше, будем подразделять силы на активные силы и реакции связей.

Одна из главных задач статики твердого тела - нахождение реакции связей. Для определения реакции связей необходимо найти величину этой реакции, линию и направление ее действия. Линия действия реакции обычно проходит через точку касания тела и связи. Численное значение реакции определяется расчетом, а направление реакции зависит от вида (конструкции) связи.

Для определения направления реакции необходимо установить особенности взаимодействия твердого тела со связями различного вида. Следует иметь в виду, что реакция всегда направлена противоположно направлению возможного перемещения тела при удалении связи.

Рассмотрим, как направлены реакции некоторых основных видов связей.

1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора. Гладкой будем называть поверхность, трением о которую данного тела можно в первом приближении пренебречь. Такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра (нормали) к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (рис.14,а). Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис. 14,б), то реакция направлена по нормали к другой поверхности.

Если поверхности не гладкие, надо добавить еще одну силу – силу трения , которая направлена перпендикулярно нормальной реакции в сторону, противоположную возможному скольжению тела.

Рис.14 Рис.15

Рис.16

2. Нить (гибкие связи). Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис.15), не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению AM. Поэтому реакция Т натянутой нити направлена вдоль нити от тела к точке ее подвеса. Если даже заранее можно догадаться, что реакция направлена к телу, все равно ее надо направить от тела. Таково правило. Оно избавляет от лишних и ненужных предположений и, как убедимся далее, помогает установить сжат стержень или растянут.

3. Цилиндрический шарнир (подшипник). Если два тела соединены болтом, проходящим через отверстия в этих телах, то такое соединение называется шарнирным или просто шарниром; осевая линия болта называется осью шарнира. Тело АВ, прикрепленное шарниром к опоре D (рис.16,а), может поворачиваться как угодно вокруг оси шарнира (в плоскости чертежа); при этом конец А тела не может переместиться ни по какому направлению, перпендикулярному к оси шарнира. Поэтому реакция R цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, т.е. в плоскости А_ху. Для силы R в этом случае наперед не известны ни ее модуль R, ни направление (угол ).

4. Шаровой шарнир и подпятник. Этот вид связи закрепляет какую-нибудь точку тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве. Примерами таких связей служат шаровая пята, с помощью которой прикрепляется фотоаппарат к штативу (рис.16,б) и подшипник с упором (подпятник) (рис. 16,в). Реакция R шарового шарнира или подпятника может иметь любое направление в пространстве. Для нее наперед неизвестны ни модуль реакции R, ни углы, образуемые ею с осями х, у, z.

Рис.17

5. Стержень. Пусть в какой-нибудь конструкции связью является стержень АВ, закрепленный на концах шарнирами (рис.17). Примем, что весом стержня по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно пренебречь. Тогда на стержень будут действовать только две силы приложенные в шарнирах А и В. Но если стержень АВ находится в равновесии, то по аксиоме 1 приложенные в точках А и В силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т. е. вдоль оси стержня. Следовательно, нагруженный на концах стержень, весом которого по сравнению с этими нагрузками можно пренебречь, работает только на растяжение или на сжатие. Если такой стержень является связью, то реакция стержня будет направлена вдоль оси стержня.

6. Подвижная шарнирная опора (рис.17.1). Это устройство представляет собой опорный элемент (подшипник), внутри которого вращается палец (ось) шарнира. Такая опора не препятствует вращению вокруг оси, но препятствует движению тела в любом направлении в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Реакция такой опоры направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки подвижной опоры. На схемах эту связь изображают так, как показано на рис. 17.1.

Рис.17.1. Шарнирно подвижная опора:

а – вид катковой опоры; б – расчетная схема шарнирно-подвижных опор

7. Неподвижная шарнирная опора (рис.18). Реакция R шарнирно-неподвижной опоры расположена в плоскости, перпендикулярной оси возможного вращения, и ее направление определяют две взаимно перпендикулярные составляющие R_x и R_y, соответствующие направлению выбранных осей (рис. 18, а). В строительной механике шарнирно-неподвижную опору изображают в виде двух шарнирных стержней пересекающихся в точке опоры (рис.18, б) или шарнира (рис 18, в). При решении задач будем реакцию изображать ее составляющими и по направлениям осей координат. Если мы, решив задачу, найдем и , то тем самым будет определена и реакция ; по модулю R .

Рис.18. Шарнирно-неподвижная опора:

а – вид шарнирно-неподвижной опоры;

б, в – расчетные схемы шарнирно-неподвижных опор

Способ закрепления, показанный на рис.18, употребляется для того, чтобы в балке не возникало дополнительных напряжений при изменении ее длины от изменения температуры или от изгиба.

8. Неподвижная защемляющая опора или жесткая заделка (рис.19, а). Это соединение исключает возможность каких-либо перемещений абсолютного твердого тела. Балка, изображенная на рис.19, а, жестко заделана в стену в точке А. Перемещению ее в вертикальном направлении, препятствует реакция R_y, перемещению в горизонтальном направлении препятствует реакция R_x и повороту вокруг точки А - опорный момент М_А. Характерным для данной опоры является наличие опорного момента сил, исключающего вращение тела вокруг любой оси. Схематическое изображение такой опоры в теоретической механике показано на рис. 1.9, б. Если под такую балку где-нибудь в точке В подвести еще одну опору, то балка станет статически неопределимой.

С помощью указанных опорных связей сооружения прикрепляются к фундаментам или отдельные элементы соединяются между собой.

Рис. 19. Жесткая заделка:

а – вид жесткой заделки; б – расчетная схема жесткой заделки

При определении реакций связи других конструкций надо установить, разрешает ли она двигаться вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и вращаться вокруг этих осей. Если препятствует какому-либо движению – показать соответствующую силу, если препятствует вращению – пару с соответствующим моментом.

Иногда приходится исследовать равновесие нетвердых тел. При этом будем пользоваться предположением, что если это нетвердое тело находится в равновесии под действием сил, то его можно рассматривать как твердое тело, используя все правила и методы статики.

Связи, как и другие понятия, встречающиеся в аксиомах, являются абстракциями, весьма условно отражающими свойства реальных объектов. Например, рассмотренная выше гибкая невесомая нить может быть моделью подвесных и вантовых систем, у которых масса погонного метра троса составляет десятки и сотни килограммов. Однако усилия, возникающие в таких тросах, во столько раз больше их собственного веса, что при расчете последним можно пренебречь, считая их невесомыми.

Пример 1. На невесомую трехшарнирную арку действует горизонтальная сила (рис.20). Определить линию действия реакции (реакции связи в точке А).

Решение: Рассмотрим правую часть арки отдельно. В точках В и С приложим силы реакции связей . Тело под действием двух сил находится в равновесии. Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы равны по величине и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны. Таким образом, направление силы нам известно (вдоль линии ВС).

Рис.20

Рассмотрим левую часть арки отдельно. В точках А и С приложим силы реакции связей . Сила , действие равно противодействию. На тело действуют три силы, направления двух сил ( и .) известно. Согласно теореме о трех силах линии действия всех трех сил пресекаются в одной точке. Следовательно, сила направлена вдоль линии AD.

Пример 2. Однородный стержень закреплен шарнирно в точке А и опирается на гладкий цилиндр. Определить линию действия реакции (реакции связи в точке А).

Рис.21

Решение: Так как стержень однородный, то равнодействующая сил тяжести (сила ), действующих на стержень, приложена в его геометрическом центре (точка С). Так как стержень опирается на гладкую поверхность, то реакция связи (сила ) в точке касания (точка D) направлена по нормали к этой поверхности. На тело действуют три силы, направления двух сил ( и .) известно. Согласно теореме о трех силах линии действия всех трех сил пресекаются в одной точке. Следовательно, сила направлена вдоль линии A Е.

Вопросы для самопроверки

- Что такое материальная точка?

- Что такое абсолютно твердое тело?

- Какие величины называются векторными и скалярными?

- Что такое сила и какова ее размерность?

- Что называется моментом силы относительно данной точки и какова его размерность?

- Что называется реакциями связей?

- Что такое статически эквивалентная система сил?

- Что такое аксиомы статики твердого тела? Как они формулируются?

- Приведите определение понятия «сила».

- Какими приборами измеряют численное значение силы?

- Какими единицами измеряется сила в Международной системе (СИ)?

- Перечислите признаки, характеризующие силу.

- Что называется системой сил?

- Приведите примеры сосредоточенных и распределенных сил.

- Что называется равнодействующей системы сил?

- Какая сила называется уравновешивающей?

- Дайте определение внешней и внутренней силы.

- Сформулируйте аксиому о равновесии двух сил.

- Что такое система сил?

- Какие системы сил называются эквивалентными?

- Что такое равнодействующая и уравновешивающая сила?

- Какие системы сил называются статически эквивалентными?

- В чем сходство между равнодействующей и уравновешивающей сил и чем они друг от друга отличаются?

- Сформулируйте первую, вторую, третью и четвертую аксиомы статики.

- К двум различным точкам твердого тела (см. рис.) приложены две непараллельные, но действующие в одной плоскости силы. Можно ли для сложения этих сил применить правило параллелограмма?

- Можно ли силу в 50 Н разложить на две силы, например, по 200 Н?

- Сформулируйте пятую аксиому статики.

- Какие разновидности связей рассматриваются в статике?

- Изменится ли направление реакций связей, если, не меняя положение бруса А, изображенные на рис. а опоры (связи) заменить опорами (связями), как показано на рис. б? (Трение не учитывать, т. е. связи считать идеальными).

- Назовите простейшую систему сил, эквивалентную нулю.

- В чем заключается сущность аксиомы присоединения и исключения уравновешивающихся сил?

- Назовите сущность аксиомы отвердевания.

- Сформулируйте правило параллелограмма сил.

- Что выражает аксиома инерции?

- Приведите формулировку аксиомы равенства действия и противодействия.

- Что называется связью, наложенной на твердое тело?

- Что такое реакция связи?

- Что называется силой реакции связи?

- Сформулируйте принцип освобождаемости от связей.

- К какому объекту приложены силы реакций?

- Перечислите основные виды связей, для которых заранее известно направление силы реакции.

- Назовите связи, для которых заранее известна точка приложения реакции, но не ее направление.

- В чем сущность принципа освобождаемости от связей?

- Как направлена реакция опорного шарнира, если твердое тело соединено с опорой с помощью стержня, имеющего на концах шарниры?

- Почему со стороны неподвижного шарнира на брус действует только сила R_A (реакция шарнира), а при жесткой заделке бруса на него действуют и сила R_A, и реактивный момент M_A заделки (см. рис.)?

Пара сил и ее действие на тело

Две равные и параллельные силы, направленные в противоположные стороны и не лежащие на одной прямой, называются парой сил. Примером такой системы сил могут служить силы, передаваемые руками шофера на рулевое колесо автомобиля. Пара сил имеет большое значение в практике. Именно поэтому свойства пары как специфической меры механического взаимодействия тел изучаются отдельно.

Сумма проекций пары сил на ось х и на ось у равна нулю (рис. 19, а), поэтому пара сил не имеет равнодействующей. Несмотря на это тело под действием пары сил не находится в равновесии.

Действие пары сил на твердое тело, как показывает опыт, состоит в том, что она стремится вращать это тело. Способность пары сил производить вращение определяется моментом пары, равным произведению силы на кратчайшее расстояние (взятое по перпендикуляру к силам) между линиями действия сил. Обозначим момент пары М, а кратчайшее расстояние между силами а, тогда абсолютное значение момента (рис. 19, а)

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называется плечом пары, поэтому можно сказать, что момент пары сил по абсолютному значению равен произведению одной из сил на ее плечо.

Эффект действия пары сил полностью определяется ее моментом. Поэтому момент пары сил можно показывать дугообразной стрелкой, указывающей направление вращения. Так как пара сил не имеет равнодействующей, ее нельзя уравновесить одной силой. Момент пары в СИ измеряется в ньютонометрах (Н*м) или в единицах, кратных ньютонометру: кН*м, МН*м и т.д.

Момент пары сил будем считать положительным, если пара стремится повернуть тело по направлению хода часовой стрелки (рис. 19, а), и отрицательным, если пара стремится вращать тело против хода часовой стрелки (рис. 19, б). Принятое правило знаков для моментов пар условно: можно было бы принять противоположное правило.

Упражнение 6

1. Определить, на каком рисунке изображена пара сил: А. Рис. 20, а. Б. Рис. 20, б. В. Рис. 20, б. Г. Рис. 20, г.

2. Что определяет эффект действия пары сил?

А. Произведение силы на плечо. Б. Момент пары и направление поворота. 3. Чем можно уравновесить пару сил?

А. Одной силой. Б, Парой сил

§ 13. Эквивалентность пар

Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или не нарушается его равновесие.

Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Таким образом, пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любое положение.

Рассмотрим еще одно свойство пары сил, которое является основой для сложения пар.

Не нарушая состояния тела, можно как угодно изменять модули сил и плечо пары, только бы момент пары оставался неизменным.

Заменим пару сил с плечом а (рис. 21, а) новой парой

плечом Ь (рис. 21, б) так, чтобы момент пары оставался тем же. Момент заданной пары сил М₁ = F₁ а. Момент новой пары сил М₂ = F₁ b. По определению пары сил эквивалентны, т. е. производят одинаковое действие, если их моменты равны. Если изменив значения сил и плечо новой пары, мы сохраним равенство их моментов М₁ = М₂ или F₁ а = F₁ b, то состояние тела от такой замены не нарушится.

Итак, вместо заданной пары с плечом а мы получили эквивалентную пару с плечом b.

Упражнение 7

1. Зависит ли эффект действия пары сил на тело от ее положения в плоскости? А. Да. Б. Нет.

2. Какие из приведенных ниже пар эквивалентны?

А. а) сила пары 100 кН, плечо 0,5 м; б) сила пары 20 кН, плечо 2,5 м; в) сила пары 1000 кН, плечо 0,05 м. Направление всех трех пар одинаково. Б. а) М₁ = —300 Н*м; б) М₂ = 300 Н*м.

3. Момент пары сил равен 100 Н*м, плечо пары 0,2 м. Определить значение сил пары. Как изменится значение сил пары, если плечо увеличить в два раза при сохранении численного значения момента?

§ 14. Сложение и равновесие пар сил на плоскости

Подобно силам, пары можно складывать. Пара, заменяющая собой действие данных пар, называется результирующей.

Как показано выше, действие пары сил полностью определяется ее моментом и направлением вращения. Исходя из этого сложение пар производится алгебраическим суммированием их моментов, т. е. момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

Это применимо к любому числу пар, лежащих в одной плоскости. Поэтому при произвольном числе слагаемых пар, лежащих в одной плоскости или параллельных плоскостях, момент результирующей пары определится по формуле

где моменты пар, вращающие по часовой стрелке, принимаются положительными, а против часовой стрелки — отрицательными. На основании приведенного правила сложения пар устанавливается условие равновесия системы пар, лежащих в одной плоскости, а именно: для равновесия системы пар необходимо и достаточно , чтобы момент результирующей пары равнялся нулю или чтобы алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю:

Пример 4. Определить момент результирующей пары, эквивалентной системе трех пар, лежащих в одной плоскости. Первая пара образована силами имеет плечо h₁- 1,25 м и действует по часовой стрелке; вторая пара образована силами имеет плечо h₂= 2 м и действует против часовой стрелки;

третья пара образована силами имеет плечо h₃ = 1,2 м и действует по часовой стрелке (рис. 22).

Решение. Вычисляем моменты составляющих пар:

Для определения момента результирующей пары складываем алгебраически моменты заданных пар

§ 15. Момент силы относительно точки и оси

Момент силы относительно точки определяется произведением модуля силы на длину перпендикуляра , опущенного из точки на линию действия силы (рис. 23, а).

При закреплении тела в точке О сила стремится поворачивать его вокруг этой точки. Точка О, относительно которой берется момент, называется центром момента, а длина перпендикуляра а — плечом силы относительно центра момента.

Момент силы относительно О определяется произведением силы на плечо

Измеряют моменты сил, как и моменты пар, в ньютонометрах (Н*м) или в соответствующих кратных и дольных единицах.

Момент принято считать положительным, если сила стремится вращать тело по часовой стрелке (рис. 23, а), а отрицательным — против часовой стрелки (рис. 23, б). Когда линия действия силы

проходит через данную точку, момент силы относительно этой точки равен нулю, так как в рассматриваемом случае плечо а = О (рис. 23, в).

Между моментом пары и моментом силы есть одно существенное различие. Численное значение и направление момента пары сил не зависят

от положения этой пары в плоскости. Значение и направление (знак) момента силы зависят от положения точки, относительно которой определяется момент.

Рассмотрим, как определяется момент силы относительно оси. Из опыта известно, что ни сила (рис. 24), линия действия которой пересекает ось Оz, ни сила параллельная оси, не смогут повернуть тело вокруг этой оси, т. е. не дают момента.

Пусть на тело в какой-то точке (рис. 25) действует сила Проведем плоскость H, перпендикулярную оси Оz и проходящую через начало вектора силы. Разложим заданную силу на две составляющие: расположенную в плоскости H, и параллельную оси Оz.

Составляющая параллельная оси Оz, момента относительно этой оси не создает. Составляющая действующая в плокости H, создает момент относительно оси Оz или, что то же самое, относительно точки О. Момент силы измеряется произведением модуля самой силы на длину а перпендикуляра, опущенного из точки О на направление
этой силы, т. е.

Знак момента по общему правилу определяется направлением вращения тела: плюс (+) — при движении по часовой стрелке, минус (—) — при движении против часовой стрелки. Для определения знака момента наблюдатель должен непременно находиться со стороны положительного направления оси. На рис. 25 момент силы относительно оси Оz положителен, так как для наблюдателя, смотрящего со стороны положительного направления оси (сверху), тело под действием заданной силы представляется вращающимся вокруг оси по ходу часовой стрелки.

Если сила (рис. 24) расположена в плоскости H, перпендикулярной к оси Оz, момент этой силы определится произведением ее величины на плечо l относительно точки пересечения оси Оz и плоскости Н:

Следовательно, для определения момента силы относительно оси нужно спроектировать силу на плоскость , перпендикулярную оси , и найти момент проекции силы относительно точки пересечения оси с этой плоскостью .

Упражнение 8

1. Будет ли тело находиться в равновесии, если на него действуют три пары сил, приложенных в одной плоскости, и моменты этих пар имеют следующие значения: М₁ = —600 Н*м; М₂ = 320 Н*м и М₃ = 280 Н*м.

А. Тело будет находиться в равновесии. Б. Тело не будет находиться в равновесии.

2. Определить плечо силы относительно точки О (рис. 26).

А. Отрезок ОВ. Б. Отрезок О А. В. Отрезок О К.

3. Чему равен момент силы относительно точки К (рис. 26)?

А.

4. Зависят ли значение и направление момента силы относительно точки от взаимного расположения этой точки и линии действия силы? А. Не зависят. Б. Зависят.

5. Когда момент силы относительно оси равен нулю?

А. Когда сила параллельна оси. Б. Когда линия действия силы пересекает ось. В. Когда сила и ось расположены в одной плоскости.

б. Определить момент силы относительно оси z (рис. 27):

7. Вычислить момент силы относительно оси z (рис. 27), если задано:

СИСТЕМА ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ

Приведение силы к точке

Рассмотрим случай переноса силы в произвольную точку, не лежащую на линии действия силы (рис. 28).

Возьмем силу приложенную в точке С. Требуется пере нести эту силу параллельно самой себе в некоторую точку О.

Приложим в точке О две силы противоположно направленные, равные по значению и параллельные заданной силе т. е. От приложения в точке О этих сил состояние так тела не изменяется, как они взаимно уравновешиваются. По лученную систему трех сил можно рассматривать как состоящую из силы приложенной в точке О, и пары сил с моментом М =Fа. Эту пару сил называют присоединенной, а ее плечо а равно плечу силы относительно точки О (рис. 28, а).

Таким образом, при приведении силы к точке, не лежащей на линии действия силы, получается эквивалентная система, состоящая из силы, такой же по модулю и направлению, как и сила и присоединенной пары сил, момент которой равен моменту данной силы относительно точки приведения:

В качестве примера приведения силы рассмотрим действие силы на конец С защемленного стержня (рис. 28, б). После приведения силы в точку О защемленного сечения обнаруживаем в нем силу равную и параллельную заданной, и присодиненный момент М, равный моменту заданной силы относительно точки приведения О,

1. Сравните три варианта сил, показанные на рис, 29, а, б, б, и решите, какое из приведенных утверждений правильно.

А. Все три варианта сил эквивалентны. Б. Сила на рис. 29, а эквивалентна системе сил на рис. 29, б. В. Система сил на рис. 29, б эквивалентна силе на рис. 29 в.

2. Зависит ли момент присоединенной пары сил от расстояния точки приведения до линии действия силы?

А. Зависит. Б. Не зависит.

3. Вычислите момент присоединенной пары в точке В (рис. 29, б), если F = 300 Н; а = 200 мм.

17. Приведение плоской системы сил к данной точке

Описанный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в некоторых точках тела (рис. 30) приложены силы Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу

приложенную в точке А. Приложим (см. § 16) в точке О две силы равные порознь по значению за данной силе параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы получим силу приложенную в точке О, и пару сил с плечом а₁. Поступив таким же образом с силой приложенной в точке В, получим силу приложенную в точке О, и пару сил с плечом а₂ и т. д. Плоскую систему сил, приложенных в точках A, B, С и D, мы заменили сходящимися силами приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О:

Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой равной геометрической сумме составляющих,

Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил и обозначают

На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения

Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы (главного вектора) и одной пары (главного момента).

Необходимо усвоить, что главный вектор не является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, главный вектор будет равнодействующей данной системы сил. Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системы, то ни модуль, ни направление его не зависят от выбора центра приведения. Значение и знак главного момента М_ГЛ зависят от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра) относительно которой берутся моменты.

Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил:

1. - общий случай; система приводится к главному вектору и к главному моменту.

2. система приводится к одной равно действующей, равной главному вектору системы.

3. система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту.

4. система находится в равновесии, т. е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент одновременно были равны нулю.

Можно доказать, что в общем случае, когда всегда есть точка, относительно которой главный момент сил равен нулю.

Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О, т. е. заменена главным вектором приложенным в точке О, и главным моментом (рис. 31). Для определенности примем, что главный момент направлен по часовой стрелке, т. е. M_гл > 0. Изобразим этот главный момент парой сил модуль которых выберем равным модулю главного вектора т. е. Одну из сил, составляющих пару приложим в центре приведения О, другую силу в точке С, положение которой определится из условия: Следовательно

Расположим пару сил так, чтобы сила была направлена в сторону, противоположную главному вектору В точке О (рис. 31) имеем две равные взаимно противоположные силы и направленные по одной прямой; их можно отбросить (со- гласно третьей аксиоме). Следовательно, относительно точки С главный момент рассматриваемой системы сил равен нулю, и система приводится к равнодействующей

§ 18. Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)

В общем случае (см. § 17) произвольная плоская система сил приводится к главному вектору и к главному моменту относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме мо ментов заданных сил относительно точки О:

Было показано, что можно выбрать центр приведения (рис. 31, точка С), относительно которого главный момент системы равен нулю, и система сил приведется к одной равнодействующей равной по модулю главному вектору Определим момент равнодействующей относительно точки О. Учитывая, что плечо ОС силы равно получаем

Две величины, порознь равные третьей, равны между собой, поэтому из уравнений (19а) и (196) находим

Полученное уравнение выражает теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Из теоремы Варьиньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю. Рассмотрим применение теоремы Вариньона на конкретных примерах.

Пример 5. Определить с помощью теоремы Вариньона положение линии действия равнодействующей двух параллельных сил направленных в одну сторону (рис. 32).

Решение. Примем за центр моментов точку С и предположим, что он лежит на линии действия равнодействующей. На основе теоремы Вариньона имеем

Момент равнодействующей относительно точки С, лежащей на ее линии дей ствия, равен нулю и уравнение (а) принимает вид

Найдем плечи сил относительно точки С. Для этого опустим из нее перпендикуляры А'С и В'С на линии действия сил (см. рис. 32). Длины этих отрезков А'С и В С определяются через расстояния АС и ВС и угол а между линией и перпендикуляром к линии действия сил:

Выразим моменты сил относительно точки С:

Подставив значения этих моментов в уравнение (б), получим — F₁AC соs а + F₂BC соs а = О или F₁AC = F₂BC, откуда F₂/F₁ = АС/ВС, т. е. линия действия равнодействующей двух параллельных сил делит расстояние между составляющими силами на части, обратно пропорциональные их значениям.

Упражнение 10

1. Зависят ли значение и направление главного вектора от положения центра приведения?

А. Не зависят. Б. Зависят.

2. Зависят ли значение и знак главного момента от положения центра приведения?

А. Не зависят. Б. Зависят.

3. Выполните построение, необходимое для приведения сил, показанных на. рис. 33, к центру приведения (точке О). Определите значение и направления главного вектора и главного момента.

4. Можно ли определить алгебраическую сумму моментов сил относительно некоторой точки О, если задана только равнодействующая этих сил и ее плечо аотносительно этой точки?

А. Нельзя. Б. Можно.

5. Сила тяжести стержня равна 150 Н (рис. 34). Определите момент силы тяжести относительно закрепленного конца стержня — точки О.

А. М₀ = 180 Н*м. Б. М₀ = 90 Н*м.

§ 19, Уравнения равновесия плоской системы сил

Плоская система сил может быть приведена к главному вектору и главному моменту. Поэтому условия равновесия сил на плоскости, как показано выше, имеют вид:

Итак, для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.

Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил, составляющих систему и перенесенных в центр приведения. Модуль главного вектора можно определить через проекции на координатные оси всех сил системы. Применив для сумм проекций всех сил на оси хну обозначения получим для значения главного вектора выражение

Главный вектор равен нулю, если оба слагаемых под корнем равны нулю, т. е.

Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы главный момент также был равен нулю, т. е.

Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил могут быть представлены в трех формах. Первая (основная форма этих уравнений) выведена выше:

Три уравнения равновесия для плоской системы сил соответствуют трем возможным степеням подвижности тела в плоскости — двум перемещениям вдоль осей х и у и вращению вокруг произвольной точки плоскости. При решении многих задач рациональнее пользоваться другими формами уравнений равновесия.

Так как при равновесии твердого тела сумма моментов всех приложенных к нему сил относительно любой точки равна нулю, то можно, выбрав три произвольные точки A, В, С и приравняв нулю сумму моментов относительно каждой из них, получить три следующих уравнения равновесия:

Это вторая форма уравнений равновесия. Точки А, В, С не должны лежать на оной прямой.

Третья форма уравнений равновесия представляет собой равенство нулю сумм моментов относительно двух произвольных точек Л и В и равенство нулю суммы проекций на некоторую ось х:

При пользовании этой формой уравнений равновесия необходимо, чтобы ось х не была перпендикулярна линии, соединяющей точки А и В.

Для системы параллельных сил, выбрав одну из осей проекций, параллельной этим силам, а другую — перпендикулярной к ним, получим два уравнения равновесия (рис. 35).

Первая форма уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примет вид:

При этом первое уравнение равновесия можно трактовать как равенство нулю алгебраической суммы всех заданных параллельных сил, так как на параллельную ось они проецируются в натуральную величину.

Вторая и третья формы уравнении равновесия для плоской системы параллельных сил примут одинаковый вид:

Итак, для произвольной плоской системы сил имеем три уравнения равновесия, а для плоской системы параллельных сил — только два. Соответственно при решении задач на равновесие произвольной плоской системы сил можно найти три неизвестных, а при рассмотрении равновесия плоской системы параллельных сил — не более двух. Если количество неизвестных превышает число уравнений статики, задача становится статически неопределимой.

Методы решения таких задач рассматриваются в курсе сопротивления материалов.

§ 20. Опорные устройства балочных систем

Очень часто в машинах и конструкциях встречаются тела удлиненной формы, называемые балками (или балочными системами). Балки в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балки имеют специальные опорные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий. Применяются следующие виды опор.

Шарнирно-подвижная опора (рис. 36, а). Эта опора допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение параллельно опорной плоскости. В этой опоре известны точка приложения опорной реакции — центр шарнира и ее направление — перпендикуляр к. опорной плоскости. Здесь остается неизвестным числовое значение опорной реакции Условное изображение опоры показано на рис. 36, а. Следует отметить, что опорная поверхность шарнирно-подвижной опоры может быть непараллельная оси балки (рис. 36, б). Реакция в этом случае не будет перпендикулярна оси балки, так как она перпендикулярна опорной поверхности.

Шарнирно-неподвижная форма (рис. 36, в). Эта опора допускает поворот вокруг оси шарнира, но не допускает никаких линейных перемещений. В данном случае известна только точка приложения опорной реакции — центр шарнира; направление и значение опорной реакции неизвестны. Обычно вместо определения значения и направления (полной) реакции находят ее составляющие

Жесткая заделка (защемление) (рис. 36, г). Такая опора не допускает ни линейных перемещений, ни поворота. Неизвестными в данном случае являются не только значение и направление реакции, но и точка ее приложения. Поэтому жесткую заделку заменяют силой реакции и парой сил с моментом М_А. Для определения опорной реакции следует найти три неизвестных: составляющие опорной реакции по осям координат и реактивный момент

§ 21. Решение задач на равновесие плоской системы сил

Для решения задач на равновесие плоской системы сил можно пользоваться любой формой уравнений равновесия, приведенной в § 19. Составляя уравнения равновесия, следует учитывать, что мы имеем полную свободу выбора координатных осей и центров моментов. Эту свободу выбора нужно разумно использовать для упрощения вычислений, связанных с решением уравнений равновесия.

Целесообразно составлять уравнения так, чтобы они могли быть решены наиболее просто и быстро. Просто решается система уравнений равновесия, каждое из которых содержит одну из неизвестных. К такой системе можно прийти при соответствующем выборе направления координатных осей и центра моментов.

В качестве центра моментов рекомендуется выбирать точку, где пересекаются две неизвестные силы; уравнение моментов относительно этой точки будет содержать только одну неизвестную. Направление координатных осей х и у следует выбирать так, чтобы оси были перпендикулярны некоторым неизвестным силам. При составлении уравнений проекций неизвестные, перпендикулярные соответствующей оси, в эти уравнения не войдут.

Определение неизвестных величин лучше начинать с уравнений моментов, а затем переходить к уравнениям проекций. При этом можно избежать совместного решения уравнений и, следовательно, уменьшить вероятность ошибок.

Следует отметить еще один важный момент. Для плоской системы сил можно выбрать любое число осей проекций и любое число центров моментов. Проецируя силы данной плоской системы на различные оси и составляя уравнения моментов относительно любых точек, можно написать сколько угодно уравнений равновесия, но только три из них будут независимыми. Остальные уравнения являются следствием этих трех уравнений и могут служить
лишь для проверки решения.

Пример 6. Определить опорные реакции жесткой заделки (защемления) консольной балки (рис. 37). На конце балки подвешен груз F = 1 кН, длина балки l = 8 м, сила ее тяжести G = 0,4 кН приложена посредине балки.

Решение. Рассматриваем равновесие стержня АВ, прикладываем к нему активные
силы: силу тяжести G = 0,4 кН и груз F = 1 кН. Далее освобождаем балку АВ от связей, т. е. отбрасываем заделку и заменяем ее действие реакциями. В данном случае для экономии места заделку не отбрасываем, а показываем ее реакции на том же исходном чертеже.

В заделке возникает реактивный момент М_a и две составляющие реакции Выбираем координатные оси, как показано на рис. 37, и составляем уравнения равновесия:

Решив уравнения, получим:

Из первого уравнения следует, что вертикальная нагрузка не вызывает горизонтальной составляющей опорной реакции.

Таким образом, в заделке рассматриваемой балки возникают только две составляющие реакции, третья обращается в нуль.

Проверяем полученные значения реакций, составляя уравнение моментов относительно точки В

Реакции найдены верно.

Пример 7. Определить опорные реакции балки, изображенной на рис. 38, нагруженной парой с моментом М = 18 кН*м и на участке СВ распределенной нагрузкой интенсивностью q = 1,5 кН/м; АС = а = 3 м; СВ = Ь = 6 м.

Решение. Заменяем распределенную нагрузку на участке СВ ее равнодействующей, которая равна qЬ и приложена посредине нагруженного участка. Освобождаем балку от опор, а их действие заменяем реакциями

Выбираем координатные оси и составляем уравнения равновесия.

Как известно, сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю, поэтому

Решая уравнение, получаем:

Следует отметить, что под действием пары сил в шарнирно-неподвижной опоре не возникает горизонтальной составляющей реакции, если опорная поверхность шарнирно-подвижной опоры горизонтальна.

Проверим найденные значения реакций, используя уравнение моментов относительно опоры В,

Реакции найдены верно.

Пример 8. Симметричная стропильная ферма AВС (рис. 39) в точке А укреплена на шарнирно-неподвижной опоре, а в точке В — на шарнирно-подвижной. Сила тяжести фермы G=10 кН. Сторона АС находится под равномерно распре- деленным перпендикулярным к ней давлением ветра; сила ветра и приложена посредине стороны АС. Длина АС = 6 м:

Определить опорные реакции.

Выделяя в качестве объекта равновесия ферму, прикладываем к ней заданные силы Затем освобождаем от связей и прикладываем их реакции.

Решение. Реакция подвижной опоры направлена вертикально, а опорная реакция шарнирно-неподвижной опоры А неизвестна как по значению, так и по направлению; ее составляющие обозначим Имеем три неизвестные силы Направление координатных осей указано на рис, 39. Составим уравнения равновесия:

где АВ = 2АС соs 30°;

Подставив значение АВ в первое уравнение и, сократив почленно на АС, получим

Решив остальные уравнения, найдем:

Проверить полученные значения реакций можно с помощью неиспользован

ного при решении уравнения моментов, например относительно точки С или В. Представляем учащимся самостоятельно выполнить проверку, предварительно установив, какое из уравнений моментов легче составить .

Упражнение 11

1. Главный вектор и главный момент системы сил равны нулю. Можно ли утверждать, что система сил находится в равновесии?

А. Можно. Б. Нельзя.

2. Сколько независимых уравнений равновесия можно составить для плоской системы параллельных сил?

А. Одно. Б. Два. В.Три.

3. На рис. 40 показаны составляющие реакций опор балок. Указать, какой вид опоры соответствует каждому случаю, и изобразите эти опоры.

§ 22. Пространственная система сил

Система сил называется пространственной, если линии действия сил, приложенных к телу, не лежат в одной плоскости. Подобно плоской системе пространственную систему сил можно привести к любой точке пространства. Порядок приведения тот же, что и для плоской системы сил, при этом от каждой силы в центре приведения получаем силу и пару сил.

Геометрическая сумма всех сил данной пространственной системы называется главным вектором. Модуль главного вектора определится через проекции на координатные оси х, у и z всех сил системы

В отличие от плоской системы сил моменты сил пространственной системы относительно точки приведения действуют в разных плоскостях. Поэтому главный момент пространственной системы сил определяется как геометрическая сумма моментов всех сил относительно точки приведения.

Абсолютное значение главного момента заданной системы сил относительно некоторой точки определяется по формуле

где — алгебраические суммы моментов всех сил системы относительно осей х, у, z, проходящих через рассматриваемую точку.

Равновесие пространственной системы сил имеет место, когда главный вектор и главный момент равны нулю, т. е.

На этом основании можно написать шесть уравнений равновесия:

Шесть уравнений равновесия для пространственной системы сил, соответствующих шести независимым возможным степеням подвижности тела в пространстве: трем перемещениям вдоль координатных осей и трем вращениям вокруг этих осей.

Пример 9. На горизонтальном валу АВ (рис. 41) насажено зубчатое колесо С с радиусом R= 1 м и шестерня D с радиусом r — 10 см. Остальные размеры проставлены на рисунке. К колесу С по касательной приложена горизонтальная сила

Определить силу приложенную по касательной вертикально к шестерне О. и реакции шарниров А и В в положении равновесия.

Решение. В шарнирах А и В (рис. 41) возникнут по две неизвестные составляющие реакций кроме того, неизвестна сила Всего пять неизвестных

Составим уравнения равновесия:

откуда

Знак минус перед значениями показывает, что эти реакции направлены в стороны, противоположные указанным на чертеже.

Шестое уравнение равновесия в этой задаче обращается в тождество 0 = 0, так как ни одна сила на ось у не проецируется.

Учебники

1	Эрдеди А.А., Эрдеди М.А., Детали машин, М.: Высш.шк., 2001 г. Стр.4-66
2	Мовнин М.С., Израэлит А.Б., Рубашкин А.Г. «Основы технической механики» Ленинград «Судостроение»1993., Стр.3-42

3 Л.И.Вереина Техническая механика –, переработанное. –М. Профориздат: 383 с. 2002г 174 ст.Стр 3-20

Прилагается видеоматериал по теме.

Выполнить конспект Разместить фото с личной росписью на основной надписи.

Представить ответы по тестовым заданиям в виде таблицы на фотографии

Обратная связь: выполненные задания, вопросы отправляем в личные сообщения преподавателю или на электронную почту колледжа dktidistanc@mail.ru

Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 207; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!