Задачи для самостоятельного решения.
Практическое занятие №1.
Тема: Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
Форма проведения – решение задач под руководством преподавателя или с использованием рабочих тетрадей, содержащих разобранные примеры и задачи для самостоятельного решения.
Время проведения занятия – 4 час.
Занятие проводится аудиторно (традиционная технология) или с использованием сети Интернет в режиме of-line – электронная почта, форум.
Вопросы по задачам для самостоятельного решения обсуждаются на форуме.
Для выполнения задания необходимо изучить теоретический материал модуля 1 для третьего семестра (лекция 1).
Если вопросов по выполнению задания нет, то решить задачи №1 - №8 из КР №1. Текст КР №1 находится в методических указаниях ко 2 семестру. Файл с решенными задачами переслать преподавателю через форум. Если задачи решены верно, то студент получает оценку «зачтено» за выполнение практического занятия 1.
Примеры решения задач
1. Возрастание и убывание функций | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№1. | По данному графику функции постройте вид графиков . Решение: 1) На интервале убывает, , , . 2) На интервале возрастает, , . 3) На интервале убывает, , . 4) . 5) На интервале возрастает, , на интервале убывает, . Эти соображения позволяют построить примерный график . 6) Та же последовательность действий, примененная к графику функции , дает примерный график второй производной . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№2. | По данному графику производной постройте вид графика функции . Решение: 1) На интервале , возрастает, , т.е., скорость возрастания также неограниченно возрастает, а следовательно, и сама функция неограниченно возрастает, таким образом, – вертикальная асимптота графика. 2) На интервале , возрастает, причем , (чем ближе точка к – справа от нее, тем больше скорость возрастания), что указывает, что , т.е., – точка разрыва второго рода. 3) В точке производная меняет знак с «+» на «–», – точка локального максимума. 4) На интервале , убывает. 5) В точке производная меняет знак с «–» на «+», – точка локального минимума. 6) При функция возрастает. Эти соображения позволяют построить примерный график : | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№3. | Функция возрастает на интервале , так как для . Полезный вывод: поскольку , то , значит для . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ п/п | 2. Экстремумы функции | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№4. | Для функции на отрезке значение является минимальным, т.к. производная равна нулю в точке . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№5. | Функция не дифференцируема в точке , так как касательные к графику функции слева и справа от точки различны, однако функция имеет минимум в этой точке. Функция является строго убывающей при и строго возрастающей при . В точке график имеет острый минимум (так называемую угловую точку). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№6 | Функция и ее производная имеют бесконечный разрыв при . Функция возрастает при и убывает при , но экстремума в точке не имеет. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№7. | Функция не дифференцируема в точке , так как при , график функции имеет в точке 0 вертикальную касательную, функция является убывающей при , возрастающей при , в точке функция имеет минимум (такая точка графика называется точкой возврата). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№8. | Для функции в точке выполняется необходимое условие экстремума . Однако точка не является точкой экстремума этой функции, в ней не выполняется достаточное условие экстремума, т.к. для любых и функция возрастает на всей числовой оси. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ п/п | 3. Асимптоты графика функции | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№9. | У графика существует левая горизонтальная асимптота ( ) и не существует правой горизонтальной асимптоты. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№10 | У графика существует правая горизонтальная асимптота ( ) и не существует левой горизонтальной асимптоты. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№11 | У графика существуют обе горизонтальные асимптоты: - левая горизонтальная асимптота ( ), - правая горизонтальная асимптота ( ). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№12 | У графика обе горизонтальных асимптоты существуют и совпадают ( ). Кроме того, график функции имеет вертикальную асимптоту , поскольку , . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№13 | Кривая имеет вертикальные асимптоты и . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№14 | Построим график функции без использования производной. Преобразуем выражение: , . График этой функции получается смещением графика на две единицы влево, на одну единицу вверх и выкалыванием точки графика с абсциссой . Прямые и являются вертикальной и горизонтальной асимптотами. Для гиперболы с центром симметрии в точке уравнения вертикальной и горизонтальной асимптот имеют вид: и . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№15 | Найдите асимптоты графика функции . , , . График имеет две несовпадающие наклонные асимптоты: левую и правую . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ п/п | 4. Построение графиков функций | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№16 | Исследуйте функцию и постройте её график.
1). Функция определена при всех . Для нахождения точек пересечения с осями записываем уравнения и ; получаем, что ось пересекается в точке с , а ось - в точках и .
2). Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, вертикальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асимптот. ,
При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для раскрытия неопределённости типа . Итак, у графика есть наклонная асимптота; её уравнение
3). Находим производную: .
Знак производной определяется знаком выражения или . Видим, что в области , при и при . Получаем, что в области функция убывает, при - возрастает и при - убывает. Находим критические точки. при ,
не существует при , . При переходе через знак производной меняется с (-) на (+), т.е. это точка минимума. При производная не существует, значит, минимум острый. При переходе через вторую критическую точку производная меняет знак с (+) на (-) , т.е. при - максимум: . При переходе через знак производной не меняется, значит экстремума нет.
4) Находим вторую производную: . Видим, что при ; в этой области график выпуклый; при , т.е. интервал также является областью выпуклости. При , следовательно, при график вогнут. Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует при и при . При переходе через первую точку знак не меняется, а при переходе через вторую – меняется. Итак, точкой перегиба является точка с координатами , .
|
График имеет вид:
№ п/п | 8. Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке | ||||||||||||||||
№17 | Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на . . Вторая группа решений является частью первой и . Отрезку принадлежат точки и . Найдем значения функции в точках , и на концах отрезка: , , , . Сравнивая их между собой, заключаем, что , для . | ||||||||||||||||
№ п/п | 9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин | ||||||||||||||||
№18 | Площадь поверхности сферы равна . Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу? Обозначим высоту цилиндра , . По условию , . Из : . Объем цилиндра . По смыслу задачи , т.е. . Исследуем функцию на этом интервале. Производная при , вблизи этого значения меняет знак с + на –, значит при этой высоте объем цилиндра будет наибольшим. | ||||||||||||||||
№19 | Владелец фабрики установил, что если он будет продавать свои изделия по цене руб., то его годовая прибыль составит руб. Определите , при котором прибыль будет максимальной. при , при этой цене прибыль будет максимальной. | ||||||||||||||||
№20 | Требуется построить несколько одинаковых домов с общей площадью 40000 м2. Затраты на постройку одного дома, имеющего м2 площади, складываются из стоимости наземной части, пропорциональной , и стоимости фундамента, пропорциональной . Стоимость наземной части составляет 32% стоимости фундамента для дома площадью 1600 м2. Определите, сколько нужно построить одинаковых домов, чтобы сумма затрат была наименьшей. РЕШЕНИЕ: Обозначим через число домов, по условию. Стоимость всей постройки , где и – коэффициенты пропорциональности, найдем их из условия при , значит, и . Производная при . Исследуя знак производной, можно показать, что эта точка является точкой минимума . При наименьших затратах можно построить домов. | ||||||||||||||||
№21 | Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна . При каком значении отношение длины радиуса вписанной в данный треугольник окружности к длине радиуса описанной окружности будет наибольшим?
РЕШЕНИЕ:
По условию , , .
Обозначим , .
В и , по теореме синусов для .
Введем функцию
;
;
при или , что не удовлетворяет условию, , , , . В точке функция имеет максимум
Отношение будет наибольшим и равным при . | ||||||||||||||||
№22 | Прямой круговой конус с наибольшим объемом вписан в данный конус так, что вершина внутреннего конуса находится в центре основания данного конуса. Докажите, что высота внутреннего конуса составляет одну треть высоты данного конуса.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим , , , , .
~ : .
, при , откуда , что не удовлетворяет условию и . Вблизи меняет знак с + на –, значит, при объем вписанного конуса является наибольшим. | ||||||||||||||||
№23 | Шоссе пересекает местность с запада на восток. В 9 км к северу от шоссе находится лагерь, а в 15 км к востоку от ближайшей на шоссе к лагерю точки расположен город. Каков должен быть маршрут, чтобы добраться в город в кратчайший срок, если скорость движения по полю 8 км/час, а по шоссе – 10 км/час? РЕШЕНИЕ: Пусть лагерь располагается в точке , а город в точке . – кратчайший маршрут до шоссе , км, км. Где будет находиться точка ? Обозначим расстояние через , . , . Время движения определяется функцией . Производная обращается в ноль при , откуда . Значение , оно является наименьшим по сравнению с и , так что к шоссе нужно выйти в 12 км от лагеря на восток. | ||||||||||||||||
№24 | Между двумя портами, удаленными друг от друга на расстояние 1200 км, с постоянной скоростью курсирует теплоход. Затраты на рейс в одном направлении слагаются из двух частей. Первая часть, связанная с обслуживанием пассажиров, пропорциональна времени нахождения в пути, другая, обусловленная стоимостью топлива, пропорциональна кубу скорости движения. Найти скорость, с которой должен идти теплоход, чтобы затраты на рейс были минимальны, если известно, что при скорости 90 км/час затраты равны 11,61 тысяч рублей, причем стоимость обслуживания пассажиров составляет стоимости топлива. РЕШЕНИЕ: Пусть – скорость теплохода, тогда время движения в одном направлении . Затраты на рейс , , где – коэффициенты пропорциональности. Найдем их из условий и , . Производная при . Исследуя знак производной, можно показать, что при км/час затраты на рейс будут минимальны. | ||||||||||||||||
№25 | Три бригады должны выполнить работу. Первая бригада делает в день 200 деталей, вторая – на деталей меньше, чем первая , а третья – на деталей больше, чем первая. Сначала первая и вторая бригады, работая вместе, выполняют всей работы, а затем все три бригады, работая вместе, выполняют оставшиеся работы. На сколько деталей в день меньше должна делать вторая бригада, чем первая, чтобы вся работа была выполнена указанным способом как можно скорее? По условию вторая бригада делает в день , а третья деталей. Обозначим общее число деталей через . Время всей работы . Производная при . Исследуя знак производной, можно убедиться, что при функция достигает минимума, и работа будет сделана за наименьшее время, если вторая бригада будет делать на 125 деталей в день меньше, чем первая. |
Задачи для самостоятельного решения.
№ п/п | ЗАДАЧИ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№1 | Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции . ОТВЕТ: Функция возрастает при ; убывает при ; – точка минимума. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№2 | Найдите экстремумы функции .
ОТВЕТ:
Вид графика функции .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№3 | Постройте график функции .
ОТВЕТ:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№4 | Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы. ОТВЕТ: при функция убывает; при функция возрастает, в точках достигается максимальное , а в точках – минимальное значения функции . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№5 | Исследуйте функцию и постройте её график. ОТВЕТ: Функция является убывающей и не имеет экстремумов. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№6 | Исследуйте функцию и постройте её график.
ОТВЕТ:
График имеет вид | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№7 | Исследуйте функцию и постройте её график.
ОТВЕТ:
График имеет вид:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№8 | Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на . ОТВЕТ: , для . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№9 | По двум взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку движутся две автомашины со скоростями и . Определите минимальное в процессе движения расстояние между машинами, если в начальный момент времени расстояния машин от перекрестка были равны и соответственно. ОТВЕТ: |
Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 257; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!