Задания для самостоятельной работы.
Дифференцирование сложных функций
Пусть функция дифференцируема в точке и – дифференцируемые функции в точке . Тогда сложная функция также дифференцируема в точке и её производная определяется по правилу
(1)
Пример 1. Найти , если .
Решение. В соответствии с формулой (1) запишем
.
Подсчитаем и .
Значит, .
Можно было сразу записать сложную функцию, зависящую от одной переменной
и дифференцировать её. ☻.
Пусть функция дифференцируема в точке и функции , , дифференцируемы в точке . Тогда сложная функция двух переменных тоже дифференцируема в точке и её частные производные определяются по правилам
(2)
Пример 2. Найти и , если , .
Решение. Задана сложная функция . В соответствии с формулами (2) запишем
Подсчитаем производные
Значит,
Можно было сразу записать сложную функцию, зависящую от двух переменных и дифференцировать её. ☻
Пример 3. Найти и функции .
Решение. Введём обозначения промежуточных переменных
.
Подсчитаем частные производные функции по формулам (2):
,
.
Переходим к вычислению вторых производных. Заметим, что функции и дифференцируются по тем же правилам, что и заданная функция , то есть их частные производные находятся по формулам (2):
,
.
.
.
Дифференцируем функции :
.
Здесь принято, что – дважды дифференцируемая функция и . ☻
|
|
Пример 4. Найти и функции .
Решение. Можно, как в предыдущем примере, ввести обозначения промежуточных переменных. Но мы просто пронумеруем переменные: – первая, – вторая, тогда и – частные производные функции по первой и второй промежуточным переменным соответственно. В этих обозначениях по формулам (2):
,
.
Продолжаем дифференцирование:
Здесь принято, что – дважды дифференцируемая функция и . ☻
Задачи для самостоятельной работы
1. Найти производные первого и второго порядков от следующих сложных функций:
1. ; 2. ;
3. ; 4. .
6. , где ; 7. , где ;
8. , где ; 9. ;
10. ; 11. .
2. Найти , если .
Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция дифференцируема в области и пусть в этой области задано некоторое направление . Производная функции по направлению вычисляется по формуле
(1)
Скорость наибольшего роста функции в данной точке (по величине и направлению) определяется вектором, который обозначается символом и называется градиентом функции:
|
|
(2)
Пример 1. Найти производную функции в точке в направлении . Чему равна величина градиента функции в этой точке?
Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), подсчитаем частные производные в точке :
Значит, производная функции в заданном направлении равна
.
В соответствии с формулой (2) запишем градиент функции в точке – вектор
Величина градиента (модуль вектора) равна . ☻
Пример 2. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси .
Решение. Подсчитаем сначала частные производные в точке :
.
Найдем направляющие косинусы:
.
По формуле (1) запишем
. ☻
Пример 3. Для функции определить угол между градиентами в точках и .
Решение. Подсчитаем сначала частные производные:
Теперь можем записать градиент функции в точках и :
,
.
Очевидно, эти векторы ортогональны – их скалярное произведение равно нулю: . Значит, угол между градиентами равен . ☻
Задания для самостоятельной работы.
|
|
1. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке .
2. Найти производную функции в точке в направлении биссектрисы первого координатного угла.
3. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к началу координат.
4. . Найти в точке .
5. . Найти в точке .
6. . Найти в точке .
7. . Найти угол между градиентами этой функции в точках и .
8. Даны функции и . Найти угол между градиентами этих функций в точке .
9. Найти точку, в которой градиент функции равен .
10. Найти точки, в которых модуль градиента функции равен 2.
11. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности в точке .
12. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности в точке .
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 83; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!