Алгебраические уравнения и неравенства
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, равный 6, и выполним преобразования:
Ответ:
Пример 2. Решить уравнение
Решение.
Решив первое уравнение системы, получим корни Из второго условия получаем, что Следовательно, не является корнем исходного уравнения.
Ответ: -1.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения, приведем к общему знаменателю и выполним преобразования:
Ответ:
Иррациональное уравнение сводится к рациональному путём возведения в соответствующую степень обеих частей уравнения.
При возведении обеих частей в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и после преобразований получим квадратное уравнение корни которого
Выполним проверку. При получим При Следовательно, – посторонний корень.
Ответ: 1.
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Перенесём в правую часть уравнения, возведём обе части в квадрат и выполним преобразования. Проверкой убеждаемся, что – посторонний корень.
|
|
Ответ: –1.
Пример 6. Решить уравнение
Решение. Пусть Получим уравнение которое сводится к квадратному Решая это уравнение, находим Второй корень не подходит, поскольку Таким образом, имеем . Возведём обе части этого уравнения в квадрат и получим
Ответ:
Упражнения
Решить уравнения.
1. Ответ: 2.
2. Ответ:
3. Ответ:
4. Ответ: –2.
5. Ответ:
6. Ответ: –4; 0.
7. Ответ: 2.
8. Ответ: .
9. Ответ: 1; 2.
10. Ответ: 6.
Пример 7. Решить неравенство
Решение. Умножим обе части неравенства на 4 и приведем подобные члены: Ответ:
|
|
Пример 8. Решить неравенство
Решение. Корни соответствующего квадратного уравнения Графиком функции является парабола, пересекающая ось Ох в двух точках, ветви которой направлены вверх, так как Изобразим схематически график функции Как видно, неравенство выполняется для
Ответ:
Пример 9. Решить неравенство
Решение. Так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения равен нулю, то Это означает, что графиком функции является парабола, касающаяся оси Ох в точке , ветви которой направлены вверх, так как Изобразив схематически график функции , видим, что неравенство выполняется только в одной точке .
Ответ: 4.
Пример 10. Решить неравенство
Решение. Дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицательный. Это означает, что парабола не пересекает ось Ох, а так как , то ветви параболы направлены вверх.
Изобразив схематически график функции , видим, что неравенство не выполняется ни для каких значений х, то есть данное неравенство решений не имеет.
Ответ: Æ – (нет решений).
Пример 11. Решить неравенство .
Решение. Используем метод интервалов, для чего находим нули числителя и знаменателя: – эта точка входит в решение, так как неравенство нестрогое; – не входит в решение, так как это нуль знаменателя . Отметим полученные точки на числовой прямой и расставим знаки на каждом интервале. Знак + – +
|
|
Из схемы видно, что решением неравенства являются интервалы
Ответ:
Пример 12. Найти наименьшее целое решение неравенства .
Решение. Преобразуем неравенство:
Воспользуемся методом интервалов и найдём, что решениями неравенства являются все значения Наименьшим целым решением данного неравенства является
Ответ: 2.
Упражнения
Найти наибольшее целое решение неравенств.
1. Ответ: 2.
2. Ответ: –6.
Решить неравенства.
3. Ответ: [–4; 1).
4. Ответ:
5. Ответ:
6. Ответ:
|
|
7. . Ответ:
8. Ответ:
Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 97; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!