Задача 7. Исследование поступательного и вращательного движений твердого тела

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Механическая система состоит из колес 1 и 2 и груза 3 (см. рис. 18 а, б, в). К одному из колес приложена движущая сила , к другому – момент сил сопротивления . Другие силы сопротивления движению системы не учитывать. Даны массы тел , и , радиусы больших и малых окружностей колес , , , . Колеса, для которых радиусы инерции и не заданы, считать сплошными однородными цилиндрами. Время отсчитывается с некоторого момента ( ), когда угловая скорость ведущего колеса равна . Исходные данные указаны в таблице 9.

Определить:

1. Уравнение движения ведущего колеса;

2. Натяжения нитей, а в тех вариантах, где имеется соприкосновение колес, также окружное усилие в точке их касания.

Исходные данные: , , , , , , , , , .

Определить: , , .

Решение

Показываем направления движения тел под действием силы . Разделяем систему на части и рассматриваем движение каждого тела отдельно, начиная с ведущего тела (тела, к которому приложена движущая сила ). В нашем случае ведущее тело – колесо 2.

Рассмотрим вращательное движение колеса 2. Действующие внешние силы: движущая сила , вес , окружное усилие (сила сопротивления), нормальная реакция поверхности колеса 2, реакция в шарнире . Составляем дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 2 относительно оси вращения :

Рис. 7

Здесь: ; .

Тогда:

(1)

Рассмотрим вращательное движение колеса 1. Действующие внешние силы: движущая сила – окружное усилие , вес , момент сопротивления , нормальная реакция поверхности колеса 1 ( ), натяжение нити , реакция в шарнире . Составляем дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 1 относительно оси вращения :

Здесь: , .

Тогда:

(2)

Рассмотрим поступательное движение груза 3. Действующие внешние силы: движущая сила – натяжение нити , вес . Составляем дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3 в проекции на координатную ось :

Здесь: .

Тогда:

(3)

Составляем уравнения связей между телами. Так как колеса 1 и 2 находятся в зацеплении, то . Тогда: . Откуда:

(4)

Колесо 1 связано с грузом 3 нитью, поэтому . Тогда:

(5)

Подставляя зависимости (4) и (5) в уравнения (2) и (3), получаем:

	(6)
	(7)

Теперь решаем систему уравнений (1), (6) и (7), исключая ( ) и ( ). Для этого уравнение (1) умножаем на , уравнение (6) – на , а затем складываем их левые и правые части. Получаем:

(8)

Из уравнения (7):

(9)

Тогда уравнение (8) примет вид:

(10)

Откуда:

(11)

Интегрируя выражение (11) дважды по времени, получаем:

Из начальных условий (при , ) определяем константы интегрирования: , .

Таким образом, уравнение движения колеса 1 примет вид:

Из уравнения (9) определяем натяжение нити :

Из уравнения (6) определяем окружное усилие :

Ответ: ; , .

Задача 8. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы

Механическая система находится в вертикальной плоскости и приводится в движение силой из состояния покоя. Учитывая трение скольжения и трение качения, определить скорость груза 1 в тот момент, когда он пройдет путь . Расчетные схемы представлены на рис. 20 (а, б, в). Исходные данные приведены в таблице 10. Нити, соединяющие тела системы, считать невесомыми и нерастяжимыми. Тела, для которых радиус инерции не указан, следует считать однородными дисками.