Перпендикулярность прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью
Задание 1
В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 900. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости АВС. Докажите, что СD перпендикулярна АС.
Задание № 2.
Решение:
Пусть К - середина ребра АВ.
Так как треугольники ADB и ACB равнобедренные, то
КС - __________________ в треугольнике АСВ,
а KD - ________________ в треугольнике ADB.
Следовательно, АВ_____________________KD,
АВ_____________________KC.
Поэтому, АВ______________________ сечению KDC,
так как АВ_____________двум пересекающимся прямым KD и KC, лежащим в плоскости этого сечения.
Отсюда АВ_________________ и любой другой прямой в плоскости сечения KDC, в частности, прямой CD.
Практические занятия
Взаимное расположение прямых в пространстве
Вариант I | Вариант II |
▲1. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB; б) плоскость, в которой лежит прямая MN; в) прямую, по которой пересекаются плоскости SAC и SBC. | ▲1. На рисунке прямая МА перпендикулярна плоскости АВС. Известно, что МС=8 см, угол между прямыми АС и МС равен 300, МВ= см. Найдите угол между прямой МВ и плоскостью АВС. |
▲2. Под углом φ к плоскости α проведена наклонная. Найдите φ, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной. | ▲2. Отрезок ВМ перпендикулярен к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости MBC. |
■3. Ребро куба АВС DA1 B1 C1 D1 равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми AB и B1 D. | ■3. Треугольник АВС и квадрат АЕFC не лежат в одной плоскости. Точки К и М – середины отрезков АВ и ВС соответственно. а) Докажите, что КМ || ЕF. б) Найдите КМ, если АЕ=8 см. |
■ 4. Через вершины А и В ромба АВС D проведены параллельные прямые А1А и В1В, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что В1В ⊥ВС, В1В ⊥АВ. Найдите АА1, если А1С=13 см, В D=16 см, АВ=10 см. | ■ 4. В треугольнике АВС через точку В к плоскости треугольника проведен перпендикуляр ВD длиной 15 см. АВ=ВС=10 см, АС=12 см. а) Укажите проекцию треугольника DBC на плоскость АВС. б) Найдите расстояние от точки D до прямой АС. |
Сечения куба плоскостью
|
|
Решение задач на параллельность прямых и плоскостей в пространстве
Угол между двумя плоскостями. Перпендикулярность плоскостей
В предложенных заданиях следует правильно заполнить пропуски.
Задание №1.
Решение:
1. Так как АВ ⊥α, то АВ_____________________________ ВС и
АВ_____________________________ ВD.
Следовательно, ∆ АВС и ∆ АВ D - ______________________________.
По теореме Пифагора для ∆АВС: АВ2 =____________________ (1)
По теореме Пифагора для ∆АВD: AB2 = ____________________ (2)
Приравняем правые части выражений (1) и (2), получим равенство (3):
|
|
______________________=____________________ (3)
2. По условию СВ : В D = 7 : 1, следовательно СВ = 7 В D.
3. Подставим в равенство (3) вместо СВ выражение, полученное в пункте 2. Следовательно, АС2 - (7BD)2 = AD2 - BD2. Подставив данные из условия задачи, получаем 372 - (7BD)2 = 132 - BD2
Решив уравнение, имеем: BD=___ cм.
11. Подставим найденное значение, например в выражение (1),
и найдем АВ: АВ=_________ см.
ОТВЕТ: АВ=_____ см.
Задание №2.
Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что BD =9 см, АС=10 см, ВС=ВА=13 см. Найдите:
А) расстояние от точки D до прямой АС;
Б) площадь треугольника АС D .
Дано:
∆АВС
BD⊥(ABC)
BD=9 см
AC=10 см
BC=BA=13 см
Найти:
а) расстояние от точки D до АС
б) S∆ACD.
Решение:
а) 1. DB – перпендикуляр к плоскости АВС, следовательно,
DС и DA - _________________,
так как ВА=ВС - ______________________, то DA=DC.
2. ∆ DAC-________________________, DK- высота, медиана и биссектриса,
DK - расстояние от точки D до АС.
3. Рассмотрим ∆ BK А, ∠K=900.
Применив теорему Пифагора, получаем:
Следовательно, ВК=_____ см.
6. Рассмотрим ∆ DBK, ∠B=900. Следовательно, по теореме Пифагора:
DK=_________ cм.
б) S ∆ ACD =
S ∆ ACD=______________________=_________ (см2).
ОТВЕТ: а) _________ см, б)___________ см2.
Решение задач на вычисление расстояний в пространстве
|
|
1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
Каково взаимное расположение прямых B А1 и AC? (рисунок + пояснения)
2. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
Выясните взаимное расположение прямых и плоскостей (рисунок + пояснения):
а) АА1 и ( DC 1 B );
б) АА1 и ( BB 1 D 1 ).
3. Дан тетраэдр ABCD. В его основании лежит треугольник CBA с прямым углом ACB. Известно, что BD перпендикулярно BC, а CD перпендикулярно А C.
а) Докажите, что
б) Найдите S ABD, если AD=25 см, AB=24 см.
4. Через вершину К треугольника DKF проведена прямая KM, перпендикулярная к плоскости этого треугольника.
Известно, что KM =15 см, DF =12 см, DK = FK =10 см. Найдите расстояние от точки M до прямой DF ?
Решение задач на перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
Решение задач профильной направленности
Составить кроссворд на тему: « Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»
Целые и рациональные числа
Действительные числа
Понятие комплексного числа
Практические занятия
Приближенное значение. Абсолютная и относительная погрешности.
Дата добавления: 2019-11-25; просмотров: 187; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!