Задание 3 Написать и отладить программу для примера 23.

Теория

Число x называется пределом числовой последовательности {a₁, a₂, …, a_n}, если для любого сколь угодно малого e можно указать такое достаточно большое положительное число N, что для всех n>N выполняется неравенство |a_n – x|<e.

Многие из математических величин или значений функций могут быть выражены как сумму таких бесконечных последовательностей. Например функции sin(x) и cos(x).

Чем больше членов ряда участвуют в вычислении суммы, тем более точным получается результат. Разность между суммой ряда и суммой бесконечного ряда называется погрешностью сложения. Часто оценивают n-ный член, если он достаточно мал, т.е. меньше некоторого числа e, которое часть называют точностью, считается, что найденная сумма достаточно хорошо приближается к действительному значению суммы и следующие слагаемые можно не учитывать.

Приведем блок-схему алгоритма вычисления суммы с заданной точностью e.

Примеры

Пример 1.

Вычислить бесконечную сумму с заданной точностью e (e >0).

Исходные данные:

точность eps вещественный тип,

член последовательности а – вещественный тип.

Результат: сумма S – вещественный тип.

Тестовый пример:

при eps=10^-4, S=0.0482.

При вычислении суммы бесконечного ряда, члены ряда с увеличением номера стремятся к нулю. Это происходит потому, что значение знаменателя быстро растет и в конце концов достигает очень большого значения, что приводит к ошибке переполнения. Чем выше точность, тем легче получить такую ошибку. В некоторых ситуациях этого модно избежать, если использовать рекуррентную формулу, т.е. выразить новый член ряда через предыдущий.

Рассмотрим примеры построения рекуррентной формулы.

Пример 2.

Даны действительные числа x, e (x¹0, e>0). Вычислить с точностью e:

Попробуем выразить формулу для a_k₊₁ через a_k.

Таким образом:

Исходные данные:

x – вещественный тип,

eps – вещественный тип,

член последовательности а – вещественный тип.

Результат:

сумма S – вещественный тип.

Тестовый пример:

при eps=10^-4, x=1, S=1.6488.

Следует обратить внимание, что так как рекуррентная формула составлена для a_k₊₁, увеличение k на единицу выполняется после вычисления a.

Рассмотрит еще пример построения рекуррентной формулы:

В некоторых числовых последовательностях требуется получать элементы до тех пор, пока разность между элементами не достигнет заданной точности: |a_n - a_n_-1|<e. В этом случае надо сохранять в памяти два элемента последовательности.

Пример 3.

Дано действительное число e (e>0). Последовательность a₁, a₂, … образована по следующему закону:

Найти первый член a_n (n³2), для которого выполняется условие |a_n-a_n_-1|<e.

Исходные данные:

eps – вещественный тип,

элемент a_n_-1 а1 – вещественный тип,

элемент a_n а2 вещественный тип

Результат:

элемент a2 - вещественный тип.

Тестовый пример:

при eps=10^-4, a2=0.14.

Задание 3 Написать и отладить программу для примера 23.

Контрольные вопросы

1. Почему при вычислении суммы бесконечной последовательности можно ограничить количество членов.

2. Почему в проверке на достижение точности член ряда указан по модулю.

3. В какой ситуации при вычислении с заданной точностью, несмотря на увеличение члена ряда с ростом n, можно завершить вычисления в цикле.

4. Почему рекомендуется получать рекуррентное соотношение для вычисления суммы ряда, который содержит факториал и возведение в целую степень.

5. Можно ли для примера 1 построить рекуррентное соотношение.

6. Если в примере 2 условие выхода из цикла будет не значение элемента меньше e, а значение разности меньше e. Количество слагаемых будет больше или меньше.

Индивидуальные задания

В приведенных вариантах заданий вычислить значения функций с помощью бесконечного ряда и с помощью соответствующих математических функций. Сравнить результаты.

Вариант	Задание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Дата добавления: 2019-11-16; просмотров: 368; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!