Рекомендуем решить самостоятельно задачи № 1 – 3.
Задача 2. Найти величину и направление градиента функции u = 3x2 – 5y + 4z2 + xy в точке М0 (1, 0, -1).
Решение. Как следует из равенства (5.2), координаты вектора есть частные производные функции u в точке М0, найдем их:
= (6х + у) = 6 + 0 = 6,
= (-5 + x) = -5 + 1 = -4,
= 12 z2 = 12 × 1 = 12.
= 6 - 4 + 12 .
Величина градиента равна:
| | = = = = 14.
Найти направление вектора – значит найти его направляющие косинусы. Для вектора градиента будем иметь:
cos a = = ; cos b = = - ; cos g = = .
Задача 3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 3 xyz – z3 =8 в точке М0 (0, 2, -2).
Решение. Поверхность задана уравнением F (x, y, z) = 0.
F (x, y, z) = 3xyz – z3 – 8. Поэтому уравнения касательной плоскости и нормали в точке М0 (x0, y0, z0) имеют вид (5.5 ) и (5.1.6).
Найдем частные производные функции F (x, y, z) в точке М0:
= 3yz = -12; = 3 xz = 0; = 3xy – 3z2 = -12.
Запишем уравнение касательной плоскости:
-12 (х – 0) + 0 (у – 2) – 12 (z + 2) = 0 или
-12 х – 12 z - 24 = 0, т.е. x + z + 2 = 0.
Запишем уравнение нормали:
или .
Задача 4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = 2x2 + 4y2 в точке М0 (2, 1, 12).
Решение. Поверхность задана в явном виде z = f (x, y), поэтому уравнения касательной плоскости и нормали в точке М0 (x0, y0, z0) имеют вид (5.3) и (5.4).
Найдем частные производные функции в точке М0
= 4х = 8; = 8y = 8.
Уравнение касательной плоскости:
z – 12 = 8 (x – 2) + 8 (y – 1) или
|
|
8х + 8у – z – 16 – 8 + 12 = 0
8x + 8y – z – 12 = 0.
Уравнение нормали:
= = .
Задача 5. К поверхности x2 + 2y2 + 3z2 = 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости
х + 4у + 6z = 0.
Решение. Дана плоскость х + 4у + 6z = 0, ее нормальный вектор (1, 4, 6). Из условия параллельности плоскостей имеем, что нормальный вектор искомых плоскостей коллинеарен данному вектору и равен (t, 4t, 6t). Найдем на поверхности точки, в которых нужно провести касательные плоскости.
Þ
подставим в уравнение поверхности x2 + 2y2 + 3z2 = 21 и найдем значение параметра t:
+ 2 t2 + 3 t2 = 21, t2 = 21, t2 = 4, t = ± 2.
Получаем две точки на поверхности: М1 (1, 2, 2) и
М2 (-1,-2,-2). В точке М1 (1, 2, 2): = 2, = 8, = 12,
и уравнение касательной плоскости запишется так:
2 (x – 1) + 8 (y – 2) + 12 (z – 2) = 0,
2x + 8y + 12z – 42 = 0,
x + 4y + 6z – 21 = 0.
В точке М2 (-1,-2,-2): = -2, = -8, = -12.
Запишем уравнение касательной плоскости:
-2 (x + 1) - 8 (y + 2) - 12 (z + 2) = 0,
-2x - 8y - 12z – 42 = 0,
x + 4y + 6z + 21 = 0.
Для закрепления данной темы рекомендуем решить задачи № 11 – 17.
Банк задач для самостоятельной работы
Задача 1. Найти в точке (2, 1), если
z = x3 + y3 – 3xy.
Ответ. 9 - 3 .
Задача 2. Найти в точке (5, 3), если z = .
Ответ. - .
Задача 3. Найти в точке (1, 2, 3), если u = xyz.
|
|
Ответ. 6 + 3 + 2 .
Задача 4. Найти величину и направление в точке (2, -2, 1), если u = x2 + y2 + z2.
Ответ. | | = 6, cos a = , cos b = - , cos g = .
Задача 5. Найти величину наибольшего подъема поверхности z = x2 + 4 y2 в точке (2, 1, 8).
Ответ. tg j = 4 .
Задача 6. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z = ln (x2 + 4y2) в точке (6, 4, ln 100).
Ответ. tg j » 0,34.
Задача 7. Найти производную функции z = x2 – xy – 2y2 в точке Р (1, 2) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 60°. Ответ. - .
Задача 8. Найти производную функции
z = x3 – 3x2 y + 3x y2 + 1 в точке (3, 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6, 5). Пояснить ответ.
Ответ. 0.
Задача 9. Найти производную функции z = x2 + 4 y2 в точке (2, 1) в направлении градиента. Сделать чертеж к задаче.
Ответ. 4 .
Задача 10. Найти производную функции z = ln (x + y) в точке (1, 2), принадлежащей параболе у2 = 4х, по направлению этой параболы.
Ответ. .
Задача 11. Найти производную функции u = x2 y2 z2 в точке А (1, -1, 3) в направлении, идущем от этой точки к точке В (0, 1, 1).
Ответ. –22.
Задача 12. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали и параболоиду вращения z = x2 + y2 в точке (1, -2, 5). Сделать чертеж.
Ответ. 2x – 4y – z – 5 = 0,
.
В задачах 13 – 15 для данных поверхностей найти уравнения касательных плоскостей и нормалей в указанных точках.
|
|
13. z = 2x2 – 4y2 в точке (2, 1, 4).
Ответ. 8x – 8y – z – 4 = 0,
.
14. z = - xy в точке (3, 4, -7).
Ответ. 17x + 11y + 5z – 60 = 0,
.
15. x3 + y3 + z3 + xyz – 6 = 0 в точке (1, 2, -1).
Ответ. x + 11y + 5z – 18 = 0,
.
Задача 16. Показать, что поверхности
x + 2y – ln z + 4 = 0 и x2 – xy – 8x + z + 5 = 0
касаются друг друга (т.е. имеют общую касательную плоскость) в точке (2, -3, 1).
Задача 17. К эллипсоиду x2 + 2y2 + z2 = 1 провести касательную плоскость, параллельную плоскости x – y + 2z = 0.
Ответ. x – y + 2z ± = 0.
Варианты проверочной работы
Дано: функция z = f (x, y), точка А (x0, y0) и точка В. Требуется найти: 1) в точке А; 2) производную функции в точке А в направлении, идущем от этой точки к точке В; 3) уравнения касательной плоскости и нормали в точке А.
1) z = 2x2 + xy A (-1, 2); B (2, 6).
2) z = x2 + xy + y2 A (1, 1); B (3, 0).
3) z = ln (x2 + xy2) A (1, 2); B (4, -2).
4) z = arctg (xy) A (2, 3); B (6, 6).
5) z = x3y + xy2 A (1, 3); B (-4, 15).
6) z = x2y + xy2 A (1, 1); B (7, -7).
7) z = 3x4 + 2x2y3 A (-1, 2); B (3, -1).
8) z = ln (2x + 3y) A (2, 2); B (-1, 4).
|
|
9) z = ln (3x2 + 4y2) A (1, 3); B (3, 2).
10) z = ln (5x2 + 4y2) A (1, 1); B (3, 0).
Ответы для второго задания:
1) -2; 2) ; 3) ; 4) ; 5) - ; 6) - ; 7) - ;
8) 0; 9) - ; 10) .
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Геометрическим изображением функции двух переменных
z = f (x, y) (6.1)
в прямоугольной системе координат является некоторая поверхность. Уравнение (6.1) может быть представлено в виде: F (x, y, z) = 0. Если это уравнение является уравнением второй степени, то поверхность, которую оно представляет, называется поверхностью второго порядка. Рассмотрим некоторые из них.
Цилиндрическая поверхность
Пусть L – некоторая линия в пространстве (назовем ее направляющей). Если через каждую точку этой линии провести прямую, параллельную некоторой прямой l (назовем ее образующей), получим цилиндрическую поверхность.
Уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой лежит в плоскости ХОУ, а образующая параллельна оси OZ, имеет вид: F (x, y) = 0. Эта поверхность изображена на рис. 1.
Аналогично уравнения F (x, z) = 0 и F (у, z) = 0 определяют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям ОУ и ОХ соответственно.
Примеры канонических уравнений цилиндров второго порядка:
= 1 - эллиптический цилиндр (направляющая –
эллипс с полуосями а и b, образующая параллельна оси OZ) (рис. 2).
= 1 - гиперболический цилиндр (направляющая –
гипербола, образующая параллельна оси ОУ)
(рис. 3).
у2 = 2 p z - параболический цилиндр (направляющая –
парабола, образующая параллельна оси ОХ)
(рис. 4).
Рис. 2
Рис. 3
| |||
Рис. 4
Эллипсоид
Каноническое уравнение трехосного эллипсоида имеет вид:
+ = 1.
Чтобы изобразить эту поверхность на чертеже, применим “метод сечений”. Линия пересечения эллипсоида с плоскостью ХОУ определяется системой уравнений:
Отсюда видно, что плоскость ХОУ пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями а и b (рис. 2). Аналогичная картина получается при пересечении эллипсоида с координатными плоскостями ХОZ и УОZ. Линии пересечения – эллипсы с полуосями а, c и b, с соответственно (рис. 2).
Рис. 2
Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если а = b = c = R, эллипсоид превращается в сферу:
x2 + y2 + z2 = R2.
Однополостный гиперболоид
Каноническое уравнение: - = 1.
Наименование “гиперболоид” происходит от того, что среди сечений этой поверхности есть гиперболы. Например, линия пересечения однополостного гиперболоида с плоскостью УОZ (рис. 3) задается системой уравнений - это гипербола с мнимой осью OZ:
(1)
Рис. 3
Любая плоскость, параллельная плоскости ХОУ, пересекает гиперболоид по эллипсу (рис. 3):
(2)
в частности,
(3)
Двуполостный гиперболоид
Поверхность, представляемая уравнением
- = -1,
называется двуполостным гиперболоидом. Она состоит из двух обособленных полостей. Действительно, ни одна из плоскостей ХОУ не пересечет поверхности при | z | < c, т.к. при этом система
не имеет решений. При z = + c в сечении – точки, которые называются вершинами двуполостного гиперболоида. При
| z | > c в сечении эллипсы. Размеры их увеличиваются по мере возрастания z (рис. 4)
Рис. 4
Сечения плоскостями XOZ и УOZ, которые представлены системами
,
являются гиперболами с действительной осью OZ.
Конус второго порядка
Поверхность, представляемая уравнением
- = 0, называется конусом второго порядка.
|
Рис. 5
Всякая плоскость, параллельная плоскости ХОУ (но не совпадающая с ней), пересекает конус по эллипсу:
.
Эллиптический параболоид
Эллиптический параболоид – это поверхность, представляемая уравнением:
z = (р > 0, q > 0)
Сечения поверхности плоскостями ХОZ и УОZ – это параболы х2 = 2 р z (y = 0) и y2 = 2 q z (x = 0) (рис. 6). Сечения плоскостями, параллельными плоскости ХОУ, задаются системой:
,
которая не имеет решения при h < 0.
При h = 0 плоскость z = 0 имеет с поверхностью одну общую точку. При h > 0 сечение представляет собой эллипс, размеры которого возрастают с увеличением h (рис. 6).
Рис. 6.
Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоид – это поверхность, представляемая уравнением:
z = (р > 0, q > 0).
Сечения плоскостями XOZ и УОZ есть параболы:
(1) x2 = 2 p z (y = 0)
(2) y2 = -2 q z (x = 0)
Ветви параболы (1) направлены вверх, параболы (2) – вниз. ( Рис. 7). В результате поверхность имеет седлообразный вид.
| |||
Рис. 7
Всякая плоскость, параллельная плоскости ХОУ (но не совпадающая с ней), пересекает поверхность по гиперболе:
.
При z = 0 линия пересечения – пара прямых: = 0, т.е.
= 0 и = 0.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1975, гл. 10: Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. – С. 185 – 201, гл. II: Применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных. – С. 202 – 216.
2. Задачи и упражнения по математическому анализу. Для втузов / Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. – М.: Наука, 1968, гл. 6: Функции нескольких переменных. – С. 172 – 232.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1962, гл. 6: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. –
С. 288 – 344.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 1970 – 1985. Т. 1, гл. УIII. Функции нескольких переменных. – С. 243 – 304.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 2529; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!