Некоторые свойства неопределенного интеграла.
1. Согласно определению неопределенного интеграла его производная равна подынтегральной функции, то есть .
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: .
3.Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: .
4. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: .
Следующие свойства интегралов вытекает из соответствующих свойств производных.
5. Неопределенный интеграл от суммы (или разности) двух функций равен сумме (или, соответственно, разности) неопределенных интегралов от этих функций: .
6.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: .
7. Из формулы производной произведения вытекает
Формула интегрирования по частям:
8.Из формулы производной сложной функции вытекает формула:
( Замена переменной в неопределенном интеграле )
Эту формулу используют как слева направо, так и справа налево.
1)справа налево:
Например, пусть требуется вычислить и по каким-то причинам нам удобно сделать замену переменной в виде , где - новая независимая переменная. Тогда . При этом, конечно, предполагаем, что после вычисления интеграла в правой части мы подставим вместо , выражение через из соотношения (функция должна быть обратима).
2)слева направо:
Например, пусть нам известно, что . Требуется вычислить интеграл вида . Тогда .
|
|
Рассмотрим примеры.
Использование замены переменной
Задача. Найти
Решение:
Обозначим . Тогда для дифференциала данной функции имеем выражение . Следовательно
Подставляя в исходное выражение, получаем
.
Иногда не вводят обозначение для новой переменной, а все выражение для новой переменной через старую используют как ее имя, записывая это выражение под знаком дифференциала. Это и называют «подведением под знак дифференциала». В рассмотренном примере: , мы можем записать .
Задача. Найти .
Решение:
Обозначим . Тогда . Следовательно, .
Получаем
.
Задача. Найти
Решение:
Обозначим . Тогда . Следовательно, .
Получаем .
Применение формулы интегрирования по частям для вычисления неопределенных интегралов.
Формула интегрирования по частям имеет вид
В этой формуле за и обозначены дифференциалы некоторых функций.
На всякий случай еще раз напомним определение дифференциала функции , а так же формулу восстановления функции по ее дифференциалу .
Задача. Найти .
При использовании формулы интегрирования по частям важно правильно на первом этапе разбить подынтегральное выражение на два множителя и . Неудачное разбиение может привести не к упрощению, а, наоборот, к усложнению примера. В указанном примере обозначим . Всю оставшуюся часть подынтегрального выражения мы обозначим , то есть .
|
|
Тогда имеем:
;
.
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
.
Для вычисления последнего интеграла подынтегральное выражение преобразуем к виду
Тогда получаем
.
Ответ: .
Определенный интеграл
Определение. Если существует предел интегральных сумм при , и этот предел не зависит ни от способа разбиения, ни от способа выбора точек , то функция называется интегрируемой на отрезке , а значение предела называется определенным интегралом от данной функции по отрезку , и обозначается .
«Всякая функция, непрерывная на отрезке, является интегрируемой по этому отрезку».
Свойства определенного интеграла.
При формулировке свойств мы будем предполагать, что речь идет о функциях, интегрируемых по отрезку.
1. , где А – постоянная величина.
2. .
3. .
Кроме того, по определению полагают
.
при .
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 199; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!