Дифференцирование функции комплексной переменной
Комплексные числа.
Комплексное число записывается в виде
где - действительные числа, - мнимая единица .
Комплексные числа записывают также в тригонометрической форме
где, соответственно
. Комплексно сопряженная форма комплексного числа - .
Действия над комплексными числами
Сложение и вычитание
Умножение
Деление
Возведение в степень
Извлечение корня
Примеры:
Понятие функции комплексного переменного
Комплексное число имеет вид , где и - действительные числа, - мнимая единица . Оно изображается точкой на комплексной плоскости с координатами . Пусть - область (открытое связанное множество) комплексной плоскости . Если каждой точке по определенному правилу поставлено в соответствие единственное комплексное число , то говорят, что в области определена однозначная функция комплексной переменной и пишут . Функцию можно рассматривать как комплексную функцию двух действительных переменных и , определенную в области . Задание такой функции равносильно заданию двух действительных функций , , . Таким образом, если , , то
Комплексное число является пределом однозначной функции при , если для всякого существует такое число , что из неравенства следует неравенство . В этом случае пишут .
Функция называется непрерывной в точке , если
Функция, непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.
|
|
Область называется односвязной, когда она ограничена замкнутой линией , не пересекающей себя. Область называется двусвязной, когда она ограничена двумя замкнутыми линиями и , которые не пересекаются и каждая не пересекает себя; внутренняя линия , в частности, может вырождаться в точку или в дугу непрерывной линии. Аналогично определяется трехсвязная, четырехсвязная и т.д. области.
Пример. Найти значение функции при следующих значениях аргумента: 1. , 2. , 3. .
Элементарные функции комплексной переменной
Функции комплексной переменной , , определяются как суммы соответствующих степенных рядов, сходящихся на всей комплексной плоскости:
Показательная функция имеет следующие свойства: 1. , где - произвольные комплексные числа, 2. , т.е. является периодической функцией с периодом .
Тригонометрические функции , - периодические с действительным периодом ; они имеют только действительные нули и соответственно, где .
Для функций , , справедливы формулы Эйлера
откуда
Если , то , поэтому
Тригонометрические функции , определяются формулами
|
|
,
Все формулы тригонометрии остаются справедливыми и для тригонометрических функций комплексной переменной.
Гиперболические функции , , , определяются формулами
, , ,
Функции , можно рассматривать как суммы степенных рядов, сходящихся на всей комплексной плоскости:
Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими равенствами
Логарифмическая функция , где , определяется как функция, обратная показательной, причем
Эта функция является многозначной. Главным значением называется такое значение, которое получается при , оно обозначается через :
Очевидно, что
Справедливы следующие равенства
Обратные тригонометрические функции , , , определяются как функции, обратные тригонометрическим функциям , , , . Например, когда , то называется арксинусом числа и обозначается .
Все эти функции являются многозначными, они выражаются через логарифмические функции следующими формулами
Главные значения обратных тригонометрических функций , , , получаются, когда рассматриваются главные значения соответствующих логарифмических функций.
Общая степенная функция , где - любое комплексное число, определяется формулой
|
|
ее главное значение равно
Общая показательная функция ( - любое комплексное число) определяется формулой
главное значение этой многозначной функции равно
Пример. Найти . Используя формулу для - , получим
Дифференцирование функции комплексной переменной
Рассмотрим функцию , определенную в некоторой области комплексной плоскости, и точки , . Обозначим , .
Производной функции в точке называется конечный предел отношения когда произвольным образом стремится к нулю
Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке.
Если , то комплексная функция имеет вид , и ее приращение можно представить в виде
Таким образом, при любом способе стремления к нулю, должен существовать этот предел, равный одному и тому же комплексному числу . В частности, это должно иметь место, если а) и или, если б) и . В первом случае
Во втором случае
Но тогда должны выполняться равенства
(А)
которые называют условиями Коши-Римана (или условиями Д’Аламбера-Эйлера).
Обратно, если в некоторой точке функции , дифференцируемы как функции действительных переменных , и, кроме того, удовлетворяют соотношениям (А), то функция является дифференцируемой в точке как функция комплексной переменной .
|
|
Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в ней и некоторой ее окрестности. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой ее точке.
Для всякой аналитической функции производная выражается через частные производные функций , :
Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Если функция - аналитическая в точке и , то равен коэффициенту растяжения в точке при отображении плоскости на плоскость , точнее: при будет растяжение, а при будет сжатие. Аргумент производной равен углу, на который надо повернуть касательную в точке к любой гладкой кривой на плоскости , которая проходит через точку , чтобы получить направление касательной в точке к образу этой кривой на плоскости при отображении . Отметим, что при поворот осуществляется против часовой стрелки, а при - по часовой стрелке.
Отображение с помощью аналитической функции называется конформным отображением.
Дифференцирование элементарных функций.
Производные элементарных функций , , , , , , , , находятся по формулам:
.
Гармоническая функция.
Функция называется гармонической в области , если она имеет в ней непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа
Если функция аналитическая в области , то ее действительная часть и мнимая часть являются гармоническими функциями в этой области.
Однако, если , - две произвольные гармонические функции, то функция вовсе не обязана быть аналитической функцией: для аналитичности нужно, чтобы функции , удовлетворяли условиям Коши-Римана.
Пример. Выяснить, является ли аналитической функция .
, т.е. , .
Находим частные производные
Следовательно, . Условие Коши-Римана выполнены для всех точек плоскости . Значит функция является аналитической на всей плоскости.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 151; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!