Разложение определителя по строке или столбцу (правило Саррюса)
Лекция 1. Введение. Определители 2 и 3 порядков. Основные свойства, минор и алгебраическое дополнение. Понятие об определителе n-порядка и его вычисление.
Опр. Определителем квадратной матрицы или просто определителем (детерминантом) наз. число, которое ставиться в соответствие матрице и может быть вычислено по ее элементам.
1. Квадратная матрица первого порядка состоит из одного элемента, поэтому ее определитель равен самому элементу ∆=│a11│=a11
2. Определители 2 го порядка
Для облегчения процесса вычисления применяют различные схемы. Сначала об элементах определителя: 
. Индексы указывают номер строки и номер столбца на пересечении которых находится элемент. Элементы с одинаковыми первыми индексами образуют строки, с одинаковыми вторыми–столбцы, элементы с одинаковыми первым и вторым индексами образуют главную диагональ, c индексами 1,2 и 2,1 – побочную диагональ.
Правило вычисления определителя 2го порядка
Из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной.
 |
.
Примеры:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
1.2 Определители 3го порядка .
Определитель 3го порядка есть число, вычисляемое следующим образом:
.
Кроме уже известных вам элементов определителя введем новые.
Минор
Выделим в определителе 3го порядка элемент 
и вычеркнем i-ую строку и k-ый столбец. Оставшиеся элементы образуют определитель второго порядка, который и называют минором Mik элемента .
|
|
|
Например
.
Алгебраическое дополнение элемента определяется выражением
.
Схема знаков 
для алгебраических дополнений определителя 3го порядка.
Например 
.
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.
Пример
Задание. Вычислить определитель 
методом треугольников.
Решение. 
Ответ. 
2. Метод параллелограмма (Правило Саррюса)
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":
Схема Саррюса
Пример
Задание. Вычислить определитель с помощью правила Саррюса.
Решение. 
|
|
|
Ответ.
Разложение определителя по строке или столбцу (правило Саррюса)
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Пример
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель 
Решение. 
Ответ. 
Пример
Задание. Вычислить определитель
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Ответ.
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Пример
Задание. Вычислить определитель 
, разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:
|
|
|
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:
Ответ. 
Замечание
Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.
Свойства определителей
Мы изучим свойства общие для определителей любого порядка. Но будем рассматривать их на примере определителя 3го порядка.
1) Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.
Такая операция называется транспонированием определителя и обозначается 
, таким образом
.
Проверить справедливость этого свойства можно вычислением определителей 
и 
.
.
Это свойство говорит о равноправии строк и столбцов определителя с точки зрения его свойств.
|
|
|
2) При перестановке 2х строк (или столбцов) определитель меняет знак.
Проверка вычислением.
3) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Доказательство:
Предположим 
и определитель равен . Переставим 
и 
. Согласно 2с) определитель должен сменить знак, т.е. стать равным 
. Но строки равны и перестановка не должна сказаться на его величине, таким образом
,
а это возможно, если только если 
.
4) Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
5) Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Доказательство: вытекает из предыдущего свойства.
6) Если соответствующие элементы 2х строк (столбцов) пропорциональны, то такой определитель равен нулю.
.
7) Сумма произведений элементов 
некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, т.е. 
.
Доказательство:
В данной сумме не участвуют элементы строки j. Значит она (эта сумма) от этих элементов не зависит. Поэтому данную строку можно заменить на любую другую, например на i-ю строку, но такой определитель равен нулю.
7) Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца) предварительно умноженные на одно и тоже число, то величина определителя не изменится.
Это свойство позволяет производить упрощение определителя путем образования в строке или столбце нулей. Раскладывая затем определитель по строке (столбцу), содержащему нули можно получить и определитель более низкого порядка.
Пример. Вычислить определитель
.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 483; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!