Основные понятия нечеткой логики
При построении нечетких алгоритмов управления используются различные высказывания ‑ повествовательные предложения естественного или формализованного языка, которые могут быть истинными или ложными. Нечеткая логика изучает логические операции над высказываниями, в которых фигурируют лингвистические переменные и нечеткие множества. Причем, логические операции в нечеткой логике, как и в обычной алгебре логики, служат для получения из нескольких простых, исходных, высказываний одного, более сложного высказывания. Но если в алгебре логики (булевой алгебре) истинность или ложность того или иного высказывания принято обозначать числами 1 (истинность) и 0 (ложность), то в нечеткой логике каждое высказывание (исходное или образованное с помощью логической операции) характеризуется истинностными значениями во всем интервале [0,1].
В табл. 1 приведены истинностные значения 0 или 1, которые характеризуют исходные высказывания А и В и высказывания, образованные с помощью известных логических операций алгебры: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции. Поясним, что используемая в дальнейшем операция импликации соответствует высказыванию « если А, то В». При этом высказывание А называется посылкой (условием) высказывания А Þ В, а В - его заключением.
Операции алгебры логики (см. табл.1) применимы и к нечетким высказываниям, используемым в нечеткой логике, ecли каждое высказывание, например А, характеризовать функцией истинности (ФИ) ‑ m(А), аналогичной в определенном смысле ФП.
|
|
|
Тогда могут быть введены следующие аналоги обычных логических операций:
нечеткое логическое отрицание m(ØА) = 1 – m(А), (14)
нечеткая логическая дизъюнкция m(А Ú В) = max{m(А), m(В)}, (15)
нечеткая логическая конъюнкция m(А Ù В) = min{m(А), m(В)}, (16)
нечеткая логическая импликация m(А Þ В) = min{1, 1 + m(В) – m(А)}. (17)
Нетрудно убедиться, что нечеткие логические операции (14)-(17) при частных значениях ФИ m(А) и m(В), равных 1 и 0, полностью подчиняются правилам алгебры логики, приведенным в табл. 1. Обратите внимание, что нечетким логическим операциям «ИЛИ», «И» также, как и объединению и пересечению НМ (см. формулы (9) и (11)), соответствуют процедуры максимизации и минимизации функций истинности исходных высказываний или функций принадлежности исходных множеств.
Таблица 1
Логические операции над высказываниями
| Исходные высказывания | Отрицание («НЕ») | Конъюнкция («И») | Дизъюнкция («ИЛИ») | Импликация | Эквиваленция | ||
| А | В | ØА | Ø В | А Ù В | А Ú В | А Þ В | А Û В |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
|
|
|
Из формул (14)-(17) можно сделать следующие выводы относительно истинности различных высказываний (логических операций):
степень истинности отрицания какого- либо высказывания (операции "НЕ") равна степени ложности исходного высказывания;
степень истинности дизъюнкции двух высказываний (операции "ИЛИ") совпадает со степенью истинности более истинного высказывания;
степень истинности конъюнкции двух высказываний (операции "И") совпадает со степенью истинности менее истинного высказывания;
степень истинности импликации (высказывания "ЕСЛИ … ,ТО ") тем больше, чем меньше степень истинности посылки и чем больше степень истинности заключения; если у заключения степень истинности больше, чем у посылки, то степень истинности импликации равна единице.
Заметим, что вместо операций бинарной логики «ИЛИ», «И», приведённых в табл. 1, и операций нечеткой логики (15), (16) можно применять их арифметические аналоги:
m(А Ú В) = m(А) + m(В) – m(А)m(В), (18)
|
|
|
m(А Ù В) = m(А) m(В), (19)
где m(.) ‑ функции истинности, принимающие только значения 1 или 0, или же функции принадлежности, принимающие любые значения в интервале [0,1].
На рис.5 показаны две схемы, иллюстрирующие аналогию между операциями «ИЛИ», «И» бинарной логики (булевой алгебры) и операциями (15) и (16) нечеткой логики.
Рис. 5. Аналогия между операциями в бинарной (а) и нечеткой логике (б)
Рассмотрим пример использования нечеткой логики для формализации нечеткого высказывания: «Инженеры, обладающие знаниями технологии И экономики производства, имеют хорошие профессиональные перспективы в области инновации ИЛИ менеджмента». Пусть отдельные части этого высказывания характеризуются следующими значениями:
А: инженеры обладают знаниями технологии ‑ m(А) = 0,8;
В: инженеры обладают знаниями экономики ‑ m(В) = 0,6;
С: имеются хорошие перспективы для инновационной деятельности ‑ m(С) = 0,4;
D: имеются хорошие перспективы для работы менеджером ‑ m(С) = 0,3.
Полное высказывание можно представить в виде импликации:
А Ù В Þ С Ú D, (20)
|
|
|
у которой ФИ, согласно формулам (16), (15) и (17), равна:
m(АÙВÞСÚD) =min{1,(1+m(СÚD)–m(АÙВ)} =
= min{l,(1+max{m(С),m(D)}-minm(А),m(В)})} =
=min{l,(l + mах{0,4; 0 3} – min{0,8; 0,6})} =
=min{1, (1 + 04 - 0,6)} = 0,8. (21)
Из приведенного примера и формулы (17) вытекает следующее общее свойство:
m(А Þ В) = 1, (22)
если m(А) £ m(В), (23)
т.е. истинностное значение импликации (логического вывода) равно единице, если истинностное значение посылки не больше истинностного значения заключения.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 710; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!