Задача о массе неоднородного тела.
Пусть дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью Т, причем плотность в каждой ее точке зависит от координат этой точки . Требуется найти массу данного тела. Разобьем все тело на п частей. Пусть - объем i-ой части. В каждой части произвольно выберем точку и предположим, что плотность каждой i-ой части постоянна и равна значению в точке Р. Тогда масса i-ой части . Тогда масса всего тела . Данное равенство тем точнее, чем на большее число частей мы разбиваем тело .
Дадим общее определение, не связанное с физическими или геометрическими свойствами.
Определение тройного интеграла.
Пусть дана область Т, в каждой точке которой определена непрерывная функция U = f ( x , y , z ). Разобьем область Т произвольно на п частей и обозначим - объем i-ой части. На каждом участке разбиения произвольно выберем точку и составим интегральную сумму .
Если существует конечный предел интегральной суммы, не зависящий ни от способа разбиения области Т на части, ни от выбора точек Pi, тогда этот предел называется тройным интегралом по области Т от функции f ( x , y , z ).
, где dV – элемент объема.
Свойства тройных интегралов.
1. .
2. .
3. Если .
4. .
5. точка такая, что выполняется равенство
, где V – объем области Т.
6. Область Т разбита на не пересекающиеся части Т1 и Т2 , тогда
.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть дан . Разобьем область Т плоскостями параллельными координатным плоскостям. В результате каждая часть разбиения будет являться параллелепипедом.
|
|
. Тогда .
Таким образом, получаем .
Область D является правильной в направлении оси z, если любая прямая параллельная этой оси пересекает границу тела не более чем 2 раза. Тело может быть правильным также в направлении оси x и оси y.
Пусть область D будет правильной в направлении оси z, т.е. всю поверхность, ограничивающую данную область можно разбить на 2 части: нижнюю z 1 = f 1 ( x , y ) и верхнюю z 2 = f 2 ( x , y ). Область D – проекция тела на плоскость xy.
― трехкратный интеграл.
Причем, - называется внутренним, - средним, - внешним.
Замечание.
1) Если тело является правильным в направлении другой оси, то трехкратный интеграл изменится соответствующим образом.
2) Если область Т не является правильной в направлении ни одной оси, тогда область разбиваем на части таким образом, чтобы каждая часть была правильной в направлении хотя бы одной оси.
Пример. Вычислить тройной интеграл , где T : x =0, y =0, z =0, y = x , x + z =1.
Спроецируем тело на плоскость xz .
.
;
;
.
Замена переменной в тройном интеграле.
Пусть дан .
Пусть .
Если для каждой тройки xyz существует единственное решение U , V , W, тогда справедливо равенство:
|
|
,
где - якобиан перехода:
.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 520; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!