Экстремум функции 2 переменных.
Рассмотрим функцию z=f(x;y) двух переменных, определённую в некоторой области D.
Определение: Функция f(x;y) имеет строгий локальный максимум (минимум) в точке , если неравенство имеет место во всех точках из некоторой достаточно малой окрестности точки .
Определение: Функция f(x;y) имеет экстремум в точке, если эта функция имеет максимум или минимум в этой точке.
Необходимые условия экстремума.
Если дифференцируема в точке и имеет экстремум в этой точке, то её дифференциал равен нулю:
Определение: Точка называется стационарной точкой функции , если
Пусть -стационарная точка функции Обозначим
Достаточные условия экстремума.
1.Если и , то -точка максимума.
2.Если и , то -точка минимума.
3.Если , то -не является точкой экстремума.
4.Если то точка может как быть, так и не быть точкой экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование.
Пример:
Исследовать на экстремум:
Решение:
Найдем частные производные заданной функции:
; . Единственной стационарной точкой является точка (Которая получена при решении системы и ).
Найдем частные производные второго порядка:
; ; Так как то точка не является точкой экстремума.
Пример:
Исследовать на экстремум:
Решение:
Найдем частные производные заданной функции:
; . Стационарными точками являются точка и (Которые получены при решении системы и ).
|
|
Найдем частные производные второго порядка:
; ; . Рассмотрим выражение вида: . В точке - экстремума нет, поскольку . В точке наблюдается минимум, так как и .
Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Пусть функция z = f ( x , y ) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, границей которой является кривая L, тогда по первой теореме Вейерштрасса функция ограничена в замкнутой области, а по второй - достигает в области своего наибольшего и наименьшего значения. Эти значения могут быть среди точек экстремума, принадлежащих области и на границе области D.
Производная по направлению и градиент.
Рассмотрим функцию в некоторой области D.
Пусть точка M0(x0, y0)ÎD. Рассмотрим вектор с началом в точке M0. Направление вектора задают две направляющих косинуса: и - это направляющие вектора . Причем cos2a+cos2b=1, - это единичный вектор направляющие l имеет координаты l0(cos a, cos b). Дадим вдоль вектора l приращение Dl (x0, y0).
Функция получит полное приращение.
, разделим на и перейдём к пределу .
Определение: Производной f ( x , y ) по направлению `l в точке M0 называют число так как , .
|
|
Если дана функция трех переменных u=u(x,y,z), точка M0(x0,y0,z0), `l ={x,y,z}. Тогда производная по направлению имеет вид , где направляющие cos: , , .
Определение: Градиентом функции u=u(x,y,z) в точке M0 называют вектор, имеющий своими координатами значение частных производных функции в точке M0.
Обозначается: =
С одной стороны производная по направлению равна скалярному произведению градиента функции на вектор `l0: . С другой стороны : = grad u.
Если ` , то производная по направлению равна нулю.
Если ` , то производная по направлению принимает максимальное значение.
Вывод: градиент функции показывает направление наискорейшего возрастания функции в точке.
Пример: Вычислить: производную по направлению, градиент функции и длину градиента.
, M0(1, 1, 1), `l={1, 2, -2}.
Решение :
; ;
Определение: Пусть в пространстве имеется область D в которой задана функция . В этом случае говорят о скалярном поле, заданном в области D.
Определение: Рассмотрим точки области в которых функция принимает одинаковое значение . Множество таких точек образуют некоторую поверхность, называемую поверхностью уровня.
В случае функции двух переменных поверхностями уровня являются линии на плоскости . Если значения функции представлять как значения на оси : то линиями уровня на плоскости будут проекции линий пересечения поверхности с плоскостью .
|
|
Градиент всегда направлен перпендикулярно к линиям уровня, следовательно, является направляющим вектором нормали к заданной поверхности в фиксированной точке.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 169; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!