Производная функции одной переменной.
Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Дадим x0 приращение Dx так, чтобы точка принадлежала указанной окрестности. Тогда функция получит приращение Dy. .
Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, то он называется производной функции f(x) в точке x0.
.
Обозначают производную , , y', , .
Замечание: Если изменить x0, то будет изменяться и производная функции в точке x0, следовательно, производная функции тоже является функцией.
Пример: Найти по определению производную функции y=x2.
Возьмем произвольную точку x, дадим приращение Dx, x®x+Dx. Функция получит приращение Dy: = = = .
Рассмотрим предел = =
Итак, производная .
Связь между непрерывностью функции и существованием производной.
Теорема: Если функция имеет конечную производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Док-во:
По определению производной: =
Обозначим
Тогда .
По теореме о представлении функции, имеющей предел:
, где ‒ б/м при .
при Δx→0.
По второму определению непрерывности, если б/м приращению аргумента соответствует б/м приращение функции, то непрерывна в точке х0.
Ч.т.д.
Геометрический и физический смысл производной.
Геометрический смысл производной.
На графике функции возьмем точку М0 с координатами (x0,y0) и точку N с координатами ( ; ). Проведем через эти точки секущую.
|
|
x0 |
x0+ x |
y(x0+Dx) |
y0=y(x0) |
С одной стороны tga является угловым коэффициентом секущей, с другой стороны из прямоугольного треугольника: .
Когда точка N®M по графику, тогда приращение
аргумента Dx®0, при этом угловой коэффициент
касательной .
Переходя к пределу при ,
получаем .
Геометрический смысл производной заключается в следующем: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0.
.
Физический смысл производной.
Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S=S(t), где t ‒ время, S — координата точки на оси.
Физический смысл производной заключается в следующем: Производная – это мгновенная скорость изменения функции.
Vмгн=S'(t).
Правила вычисления производной.
1. .
Док-во:
Дадим x приращение Dx, . Тогда функция получит приращение Dy. Отсюда . Так как , то . Þ (C)¢=0.
Ч.т.д.
2. Если функции u и v имеют конечные производные, то производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных: .
|
|
Док-во:
Дадим x приращение Dx, . Тогда функция получит приращение . Отсюда = = .
Þ = = .
Ч.т.д.
3. Если функции u и v имеют конечные производные, то производная произведения находится по формуле: .
Доказывается аналогично второму.
Следствие: Константу можно выносить за знак произведения: .
4. Если функции u и v имеют конечные производные, то производная частного находится по формуле: , где v¹0.
Таблица простейших производных.
Степенные функции | |||
Показательные функции | Логарифмические функции | ||
Тригонометрические функции | |||
Обратные тригонометрические функции | |||
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 161; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!