Пример. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.

Решение: 1. Обозначим через N неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид x y z_N = 30, вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:

Поскольку запись трехзначная, x≠0, поэтому 30≥N² с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому 30<N³. Объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание N удовлетворяет двойному неравенству

N²£30<N³.

Учитывая, что N – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:

Минимальное из этих значений – 4. Таким образом, верный ответ – 4.

Решение (без подбора):

Найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как

3³=27<30<4³=64.

Проверяем второе неравенство: 4²=16£30, поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна. Таким образом, верный ответ – 4.

Пример. Покажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?

    Решение: Нас интересуют числа от 1 до 29. Сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5. Поскольку 5²<29<5³, в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр. рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5: 3xy₅=3·5²+x·5+y , все они заведомо не меньше 3·5²=75>29, поэтому в наш диапазон не попадают; Таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа. Есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3. Общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:

3·5+k=15+k , где k – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может).

Используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19. Таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19.

Пример. Значение арифметического выражения: 9⁸ + 3⁵ – 9 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

Решение: приведём все слагаемые к виду 3^N и расставим в порядке убывания степеней: 9⁸ + 3⁵ – 9 = 3¹⁶ + 3⁵ – 3², первое слагаемое, 3¹⁶, даёт в троичной записи одну единицу – она нас не интересует, пара 3⁵ – 3² даёт 5 – 2 = 3 двойки. Ответ: 3.

Пример. Сколько единиц в двоичной записи числа
 4²⁰¹⁵ + 8⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 122.

Решение. Приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 122 = 128 – 4 – 2 = 2⁷ – 2² – 2¹: 4²⁰¹⁵ + 8⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 122 = (2²)²⁰¹⁵ + (2³)⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹ = 2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹, вспомним, число 2^N –2^K  при K < N записывается как N– K единиц и K нулей: , для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2^N –2^K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию

1) в нашем случае выражении 2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу,

2) используем теперь равенство, так что – 2¹⁵⁰ = – 2¹⁵¹ + 2¹⁵⁰; получаем 2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ – 2¹⁵¹ + 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹ здесь две пары 2^N –2^K, а остальные слагаемые дают по одной единице общее число единиц равно 1 + (1215 – 151) + (150 – 7) + 1 + 1 = 1210. ответ: 1210.

 

---

Дата добавления: 2019-09-08; просмотров: 933; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!