Енергія атома водню і його спектр. Виродження рівнів.
РЕФЕРАТ
на тему:”Фізика атомів і молекул”
План
1. Використання рівняння Шредінгера до атома водню. Хвильова функція. Квантові числа.
2. Енергія атома водню і його спектр. Виродження рівнів. Правила відбору.
3. Механічний і магнітний моменти атома водню.
Використання рівняння Шредінгера до атома водню. Хвильова
Функція. Квантові числа
Теорія Бора будови й властивостей енергетичних рівнів електронів у водневоподібних системах знайшла своє підтвердження у квантовій механіці. Квантова механіка також стверджує, що:
a) електрони в атомах водню знаходяться лише в дискретних енергетичних станах. При переході електронів з одних станів в інші випромінюється або поглинається фотон;
б) не існує певних колових орбіт електронів. В силу хвильової природи електрони «розмиті» в просторі подібно до хмарки негативного заряду. Розміри й форму такої хмарки в заданому стані можна розрахувати.
Розглянемо рух електрона в кулонівському полі ядра із зарядом Ze, потенціальна енергія якого виражається формулою
, (1)
де r – відстань між електроном і ядром.
Стан електрона в атомі водню або водневоподібному атомі описується деякою хвильовою функцією , яка задовольняє стаціонарне рівняння Шредінгера:
, (2)
де 
― оператор Лапласа; Е ― значення повної енергії електрона в атомі; m ― маса частинки; 
(x,y,z) ― хвильова функція у декартовій системі координат.
|
|
|
Для розв’язування рівняння Шредінгера (2), тобто знаходження виду хвильової функції для електрона в атомі водню слід перейти від декартових координат до сферичних. У цьому випадку зв’язок між параметрами цих систем координат визначається з рис. 1.12.
Співвідношення, які пов’язують координати x,y,z декартової прямокутної системи координат із сферичними координатами r, , такі:
(3)
Рис. 1.
Таким чином можна вважати, що хвильова функція електрона в атомі водню залежить від сферичних координат, тобто r , .
Опустивши досить громіздкі перетворення переходу від декартової системи координат до сферичної, одержимо:
. (4)
Якщо розглядати основний (не збуджений) стан атома водню, то другою й третьою складовими в лівій частині рівняння (4) можна знехтувати. Електрон в такому стані рухається лише по коловій траєкторії і хвильова функція не залежить від і . Тому
. (5)
Хвильова функція електрона в основному стані (5) є функцією лише r, тобто r ). Такий стан називається s-станом; він має сферично-симетричний характер. Імовірність виявити електрон у заданій точці атома залежатиме лише від r. Умовам стаціонарного стану відповідає центральносиметрична функція, що легко диференціюється і має вигляд:
|
|
|
, (6)
де a ─ деяка стала величина, яка має розмірність довжини.
Необхідні похідні від (6) підставимо в (5). Після скорочення на 
одержимо:
. (7)
Рівність (7) має місце для будь-яких значень r при виконанні таких умов:
(8)
Розв’язавши систему рівнянь (8) відносно а і Е одержуємо:
(9)
(10)
Покажемо, що вираз (9) є найбільш імовірною відстанню електрона в атомі водню до ядра. Імовірність знайти електрон на відставні r від ядра, точніше в інтервалі відстаней від r до r+dr, тобто в кульковому шарі з обємом dV=4r2 dr, дорівнює:
. (11)
З урахуванням (6), хвильової функції основного стану маємо:
, (12)
де 
― густина імовірності.
Дослідимо вираз густини імовірності на максимум, тобто похідну від (r) прирівняємо до нуля
,
звідки
r=a. (13)
Цей результат є окремим випадком загального висновку: борівські орбіти електрона в атомі водню є геометричними місцями точок, у яких із найбільшою імовірністю можна виявити електрон.
|
|
|
Залежність густини імовірності ( r ) виявлення електрона на різних відстанях від ядра показана на рис. 2.
За теорією Бора імовірність виявлення електрона у стані з n=1 відмінна від нуля лише для r=a, а згідно з висновками квантової механіки ця відстань є лише найбільш імовірною.
Рис. 2
Теорія Бора дає можливість визначити значення енергії електрона в будь-якому енергетичному стані, а також радіус відповідних борівських орбіт:
, (14)
, (15)
де m ― маса електрона; e ― заряд електрона; 0 ― діелектрична проникність вакууму; 
― стала Планка, поділена на 2; n =1,2,3,...─ головні квантові числа.
Зіставлення (9) і (15), а також (10) і (14) показують, що висновки квантової механіки й теорії Бора повністю збігаються. Цей збіг підкреслює значну історичну роль теорії Бора, яка ще не є квантовою, однак і не класичною теорією.
Хвильові функції для наступних основних двох енергетичних рівнів електронів у атомі водню мають вигляд
, (16)
. (17)
Ці хвильові функції також є розвязками рівняння (5) при умові, що 
і 
. Можна показати, що формула (14) є значенням енергії електрона на будь-якому енергетичному рівні. Однак для повного пояснення стану електрона в атомі водню необхідні ще два квантові числа, які входять у відповідні рівняння хвильових функцій і які характеризують момент імпульсу електрона в атомі.
|
|
|
Для збуджених атомів хвильові функції не є центрально симетричними і залежать не лише від r, а й від і . Ці хвильові функції містять три цілочислові параметри, які називають квантовими числами. Серед них:
n ― головне квантове число, квантує енергію електрона – збігається з аналогічним квантовим числом теорії Бора і набуває значень від 1 до ;
l ― орбітальне квантове число, квантує момент імпульсу
. (18)
Орбітальне квантове число набуває значень l =0,1,2,... .
ml ― магнітне квантове число, квантує проекцію орбітального моменту імпульсу на вісь Z напрямку зовнішнього магнітного поля
. (19)
Магнітне квантове число набуває значень ml = 0,±1,±2,±3,... .
Енергія атома водню і його спектр. Виродження рівнів.
Правила відбору
Знаючи кількісне співвідношення для енергії електрона на енергетичному рівні в атомі водню, можна розрахувати весь його спектр. Нехай енергія більш високого збудженого енергетичного рівня дорівнює
(20)
а енергія нижчого рівня
. (21)
Частоти, які відносяться до різних спектральних серій, можна записати у вигляді
,
або врахувавши, що 
, одержимо
(22)
Серія спектральних ліній, для якої n 1 =1, називається серією Лаймана. Усі лінії цієї серії розміщені в ультрафіолетовій областей спектра електромагнітного випромінювання. У випадку, коли n1=2, виникає друга серія випромінювання, яка називається серією Бальмера. Перші чотири лінії цієї серії знаходяться у видимій області спектра. Інші спектральні лінії цієї серії перебувають на межі видимої й ультрафіолетової областей спектра.
Формула (22) називається формулою Бальмера. У цій формулі вираз перед дужками є сталою величиною, яку називають сталою Рідберга. Стала Рідберга R розрахована з великою точністю. Її величина дорівнює
м-1.
Число знаків, до яких визначена стала Ридберга, показує рівень точності сучасної спектроскопії й ілюструє повний збіг розрахунків за формулою Бальмера з результатами спостережень.
Якщо n 1 =3, то за формулою (22) можна розрахувати наступну серію випромінювання ─ серію Пашена. Усі лінії цієї серії перебувають у інфрачервоній області спектра.
Наступна серія випромінювання для n1=4 носить назву серії Бреккета. Лінії цієї серії теж перебувають у інфрачервоній області спектра.
Кожному значенню енергії електрона в атомі водню En (за винятком Е1) відповідає декілька значень хвильової функції 
. Вони відрізняються значеннями квантових чисел l i ml . Це означає, що атом водню може мати однакове значення енергії і перебувати в кількох різних квантових станах.
Стани з однаковою енергією називаються виродженими, а число таких станів з одним значенням енергії, називається порядком виродження.
Порядок виродження легко обчислити виходячи з числа можливих значень l i ml . Кожному значенню числа n відповідає 2 l +1 значень квантового числа ml. Тому число різних станів для даного значення n, дорівнює
. (23)
Таким чином кожен рівень енергії атома водню має порядок виродження 2n 2 .
У квантовій механіці доводиться, що можливі лише такі переходи електронів між енергетичними рівнями, для яких виконується умова зміни орбітального квантового числа l на одиницю:
l=1 . (24)
Умова, яка виражена співвідношенням (24) називається правилом відбору. Існування цього правила обумовлено тим, що фотон має власний момент імпульсу, який називають спіном, рівним наближено 
. При випромінюванні фотон забирає від атома цей момент, а при поглинанні віддає атому. Тому правило відбору є відповідним наслідком закону збереження моменту імпульсу.
Переходи електронів в атомі водню, які дозволені правилом відбору показані на рис. 3.
Серії Лаймана відповідають переходи np1s, (n=2,3,4,...).
Серії Бальмера відповідають переходи np2s, ns2p і nd2p, (n=3,4,5,...).
Стан 1 s є основним станом атома водню. У цьому стані атом має найменшу енергію. Для виведення атома з основного стану йому слід надати необхідну енергію за рахунок зовнішнього джерела. Таким джерелом енергії може бути нагрівання, електричний розряд або опромінення.
Рис. 3
При опромінені водню фотонами від зовнішнього джерела їх енергія поглинається повністю лише у випадку коли енергія фотонів у точності збігається з різницею енергії двох енергетичних рівнів. У цьому випадку фотон зникає повністю, передаючи атому всю свою енергію. Атом не може поглинути частину фотона, оскільки фотон є неподільним.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 247; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!