К ритерії оптимальності рішень у задачі перевірки гіпотез
Розглянемо критерії оптимальності рішень при вирішенні задач перевірки гіпотез.
Байєсівський критерій оптимальності використовує середній ризик (2) і вимагає його мінімізації (у загальному випадку забезпечення нижньої границі):
. (6)
Рішення – це гіпотеза 
, що забезпечує мінімум середнього ризику. Останній шукається у множині 
відображень простору спостережень 
у простір рішень 
. Нагадаємо, що аргумент функції правдоподібності – це значення параметра 
(або номер гіпотези). Тому зручно (6) записувати також у вигляді
. (7)
Критерій мінімуму середньої ймовірності похибки (критерій Зігерта-Котельникова або критерій ідеального спостерігача). У цьому разі використовується показник якості рішення (3). Цей критерій оптимальності вимагає мінімізації величини середньої ймовірності похибки:
, (8)
або
. (8а)
Критерій називають також критерієм „ідеального спостерігача”, тому що можна уявити собі, що деякий спостерігач задає вагову матрицю 
так, що вона завжди нульова 
, коли приймається правильне рішення. А коли виникає похибка, він не цікавиться тим, як саме вона виникла, і завжди задає однаковий вагомий коефіцієнт 
.
Іноді зручніше використовувати замість 
максимум імовірності правильного рішення (4):
. (9)
Критерій максимуму апостеріорної ймовірності. Згідно з показником якості (5) критерій оптимальності рішення задається так: серед гіпотез 
вибирається такий номер „ 
”, що забезпечується максимум у (5):
|
|
|
. (10)
Мінімаксний критерій оптимальності. Введені вище критерії по суті вимагали знання розподілу 
переданого сигналу, що дає змогу ввести ймовірності гіпотез 
. Коли розподіл невідомий, можна врахувати найгірший випадок – мінімізувати середній ризик в умовах найгіршого (з точки зору величини ризику) розподілу:
. (11)
У теорії статистичних рішень доводиться, що рішення буде таке саме, якщо використовувати умовні ризики
та вимагати, щоб рішення шукалось за умови
. (11а)
Мінімаксний критерій приводить до байєсівського рішення в умовах найгіршого розподілу параметра (переданого сигналу).
Критерій оптимальності Неймана-Пірсона. Спинимося детальніше на ілюстрованому прикладі приймання сигналів амплітудної маніпуляції. Тут задається лише дві гіпотези. Гіпотезу 
називають основною, а 
– альтернативною. Ставиться задача перевірки гіпотези проти альтернативи . Часто гіпотези несиметричні і зручно основну увагу приділити одній з них. Саме таку гіпотезу у математичній статистиці називають основною і позначають 
.
У задачі перевірки гіпотези проти альтернативи 
мають місце дві похибки – умовні ймовірності:
|
|
|
та
.
Ситуація, коли приймається гіпотеза 
за істинної гіпотези 
, означає, що дійсно сигналу немає (існує тільки шум), але приймається рішення про існування сигналу. Тому 
називають умовно імовірністю хибної тривоги. У математичній статистиці її називають умовною ймовірністю похибки першого роду. У разі, коли приймається гіпотеза 
при істинній гіпотезі (фізично сигнал існує), то приймається хибне рішення, що сигналу немає. Тому 
називають умовною ймовірністю пропуску сигналу, у математичній статистиці її називають умовною ймовірністю похибки другого роду.
Крім імовірностей похибок та у задачі перевірки гіпотези проти альтернативи розглядають також імовірності правильних рішень
та
.
Критерій оптимальності рішення Неймана-Пірсона використовує два показники якості рішень – умовні ймовірності хибної тривоги та пропуску цілі. У класичній літературі з теорії статистичних рішень ця обставина не підкреслюється. Але на рівні сучасної теорії вибору рішень (чи оптимізації систем і пристроїв) про це треба пам’ятати.
Критерій Неймана-Пірсона вимагає знаходження рішення, що забезпечує мінімальне значення умовної ймовірності пропуску цілі
|
|
|
(12)
при обмеженні умовної ймовірності хибної тривоги 
.
Замість (12) часто використовують умову максимізації ймовірності правильного рішення про наявність цілі:
при обмеженні . (12а)
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 96; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!