Вычисление длины дуги плоской кривой.
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой , где .
Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то кривая АВ имеет длину, равную .
Если уравнение прямой АВ задано в параметрической форме
, где и - непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина L кривой АВ находится по формуле .
Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах , . Предположим, что и непрерывны на отрезке , тогда .
Пример 1. Найти длину кардиоиды .
Кардиоида симметрична относительно полярной оси. Найдём половину длины кардиоиды:
Значит, .
Вычисление объёма тела.
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком и прямыми и . Полученная от вращения фигура называется телом вращения.
Формула объёма тела вращения имеет вид: .
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми , , ., то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу равен: .
Вычисление площади поверхности вращения.
Пусть кривая АВ является графиком функции , где , а функция и ее производная непрерывны на этом отрезке. Тогда площадь поверхности S, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох, находим по формуле: .
|
|
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями , то формула для площади поверхности вращения принимает вид: .
Пример 1. Дана циклоида Найти площадь поверхности, образованной вращением её вокруг оси Ох.
При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна
Следовательно, .
Работа переменной силы.
Пусть материальная точка перемещается из точки а оси Ох в точку b этой оси под действием силы F, параллельной оси Ох. Будем считать, что эта сила является функцией от х, определённой на сегменте . Пусть Т – разбиение сегмента точками . Выберем на каждом частичном сегменте точку и будем считать приближённым значением работы А переменной силы на сегменте выражение . Согласуясь с этими предварительными рассуждениями, мы определим работу А переменной силы на сегменте как интеграл . Таким образом,
.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 201; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!