Плотность равновесного распределения молекул в потенциальном силовом поле

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

До сих пор мы считали, что на молекулы не действуют никакие другие силы кроме тех, которые возникают в момент соударения молекул.

Предположим теперь, что ПТДС помещена в потенциальное силовое поле, т.е. на молекулу в точке х действует сила . Например, в поле силы тяжести Земли на каждую материальную точку массы m действует сила

если ось декартовой системы координат направить вверх перпендикулярно поверхности Земли.

Если взять газ, заполняющий некоторый объём Д внутри термостата, то со стороны газа, находящегося вне Д, на выделенный объём будет действовать сила давления , где – вектор внешней нормали к поверхности Д в окрестности х. Равнодействующая этих сил будет равна

Со стороны поля сил на газ, заполняющий Д, будет действовать сила, равная

где n(x) – число молекул в единице объёма в точке х. Но

В условиях равновесия силы, даваемое выражениями (5.1) и (5.2), равны по величине и противоположны по знаку, т.е.

Поскольку это равенство верно для любого Д, то из него вытекает, что

(5.3) .

Найдём теперь связь между P(x) и плотностью частиц n(x) в точке х. Если взять шар радиуса с центром в точке х, то при малых уравнение состояния для газа в этом объёме будет иметь вид

или .

Подставляя найденное P(x) в (5.3), получим уравнение

Беря интеграл от обеих частей по кривой, соединяющей х с точкой , в которой мы полагаем , получим

т.е. .

В частности, для газа (воздуха) в поле силы тяжести Земли в условиях равновесия (равновесная атмосфера) получаем формулу Больцмана

Плотность распределения по скоростям. Распределение Максвелла

Обозначим через проекцию скорости молекулы газа массы m, находящегося в равновесии в поле силы тяжести Земли при температуре T. Тогда в единичном объёме на высоте h будет находиться молекул, вертикальная составляющая скорости которых в окрестности точки v. Двигаясь вверх, эти молекулы заполнят единичный объём на высоте , имея скорость (вертикальную составляющую), где находится из соотношения: