Обработка результатов косвенных измерений
В косвенных измерениях, искомая физическая величина y связана с функциональной зависимостью у = f ( x 1 , x 2 ,… xm ) с другими физическими величинами x 1 , x 2 ,… xm, которые измеряются непосредственно в серии n прямых равноточных измерений.
Вычисление средних значений 
и соответствующих средних квадратичных погрешностей измерений 
производится, согласно, предыдущему разделу.
При косвенных измерениях значение измеряемой физической величины находится подстановкой средних значений 
в формулу 
.
Например, при определении плотности цилиндра – среднее значение плотности вычисляется по формуле:
.
Средняя квадратичная погрешность косвенных измерений вычисляется по формуле:
.
Здесь 
- обозначает взятие производной по одной из переменных физических величин, считается, что другие при этом не изменяются.
Применение этой формулы к вычислению средней квадратичной погрешности измерений плотности цилиндрического тела приводит к следующему результату:
.
Из формулы (6) хорошо виден смысл коэффициентов .
Физические величины входят в формулу в разных степенях. Чем выше степень, в которой входит физическая величина в формулу, тем больше влияет неточность ее измерения на погрешность определяемой в косвенных измерениях физической величины. Так в приведенном примере, масса и высота цилиндра входят в формулу в первой степени, а диаметр во второй, что приводит соответственно к коэффициентам «влияния» 1 и 4. Поэтому, по возможности, такие физические величины желательно измерять с более высокой точностью.
|
|
|
Погрешность однократных прямых измерений
В силу разных причин, иногда, приходится ограничиваться единственным измерением физической величины. Например, при измерении плотности тела в учебном лабораторном практикуме массу, как правило, измеряют один раз. Как в этом случае оценить величину средней квадратичной погрешности? В учебных целях можно использовать приближенную формулу:
,
где D - цена деления прибора.
При взвешивании D - это величина наименьшего разновеса. Например, если масса тела при взвешивании оказалось равной 15,4 г, то D =0,1 г.
Доверительный интервал и доверительная вероятность
Среднее значение измеряемой физической величины, вычисленное по формулам для прямых и косвенных измерений, является наиболее вероятным значением и, поэтому принимается за значение физической величины в данной серии измерений. Так как число измерений всегда конечно, то и полученные средние значения являются случайными величинами. Случайный характер результатов измерений при их большом числе в серии равноточных измерений имеет следующие особенности. В основном результаты группируются вокруг среднего значения измеряемой величины. Причем относительная доля результатов измерений тем меньше, чем больше величина их абсолютной погрешности. Результаты измерений с одинаковой абсолютной погрешностью, но разным знаком, встречаются одинаково часто. Из двух процессов измерения одной и той же физической величины точнее тот, для которого в одном и том же интервале значений измеряемой величины, в районе ее среднего значения, больше относительная доля результатов измерений.
|
|
|
Пусть средняя величина x измерялась n раз. При этом m результатов измерений находится в интервале значений от 
до 
.
Вероятность a того, что результаты измерений лежат в интервале 
, равна 
. Это вероятность называется доверительной вероятностью, а соответствующий интервал - доверительным интервалом.
Согласно государственным стандартом в результате измерений определяется:
1) среднее значение физической величины,
2) доверительный интервал, в котором находятся физические величины,
3) доверительная вероятность a, с которой физическая величина находится в доверительном интервале.
|
|
|
Границы доверительного интервала e зависят от числа измерений и доверительной вероятности. Отметим, что увеличение числа измерений, в пределе до бесконечности, уменьшает величину случайной погрешности, но при этом остается погрешность, связанная с неточностью самого прибора, так называемая приборная (или инструментальная) погрешность, определяемая его классом точности и включающая систематические погрешности метода измерений, градуировки шкалы и т.п.
Величина доверительного интервала определяется по формуле
,
где sx – средняя квадратичная погрешность измеряемой величины x, 
- коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности a.
Коэффициент Стьюдента рассчитан с помощью теории вероятности и математической статистики и приводится в таблице 1.
Таблица 1
Коэффициент Стьюдента 
| Число измерений n | Доверительная вероятность a | |||||||
| 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 0,95 | 0,98 | 0,999 | |
| 2 | 1,00 | 1,38 | 2,0 | 3,1 | 6,3 | 12,7 | 31,8 | 636,6 |
| 3 | 0,82 | 1,06 | 1,3 | 1,9 | 2,9 | 4,3 | 7,0 | 31,6 |
| 4 | 0,77 | 0,98 | 1,3 | 1,6 | 2,4 | 3,2 | 4,5 | 12,9 |
| 5 | 0,74 | 0,94 | 1,2 | 1,5 | 2,1 | 2,8 | 3,7 | 8,6 |
| 6 | 0,73 | 0,92 | 1,2 | 1,5 | 2,0 | 2,6 | 3,4 | 6,9 |
| 7 | 0,72 | 0,90 | 1,1 | 1,4 | 1,9 | 2,4 | 3,1 | 6,0 |
| 8 | 0,71 | 0,90 | 1,1 | 1,4 | 1,9 | 2,4 | 3,0 | 5,4 |
| 9 | 0,71 | 0,90 | 1,1 | 1,4 | 1,9 | 2,3 | 2,9 | 5,0 |
| 10 | 0,70 | 0,88 | 1,1 | 1,4 | 1,8 | 2,3 | 2,8 | 4,8 |
| 15 | 0,69 | 0,87 | 1,1 | 1,3 | 1,8 | 2,1 | 2,6 | 4,1 |
| 20 | 0,69 | 0,86 | 1,1 | 1,3 | 1,7 | 2,1 | 2,5 | 3,9 |
|
|
|
Библиографический список
1. Кортнев А.Вю, Рублев Ю.В., Куценко А.Н. Практикум по физике. М.: Высшая школа. – 1965. – 568 с.
2. Ахматов А.С., Андреевский В.М., Кулаков А.И. и др. Лабораторный практикум по физике. М.: Высшая школа. – 1980. – 360 с.
3. Гольдин Л.Л., Игомин Ф.Ф., Козел С.М. и др. Лабораторные занятия по физике. М.: Наука. – 1983. – 704 с.
Дата добавления: 2019-07-17; просмотров: 226; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!