Включение конденсатора на постоянное напряжение
Исследуем переходной процесс, возникающий при подключении R , C – цепи (конденсатора) к источнику постоянной ЭДС E = const , т.е. режим заряда конденсатора ёмкостью C через сопротивление R (рисунок 6.6, а).
а) б)
Рисунок 6.6 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений
конденсаторе (б) при подключении к источнику постоянного напряжения
В послекоммутационном режиме, когда ключ K замкнут, переходной процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением
RC | du C | + u C = E . | (6.32) | |
dt |
Соответствующее однородное уравнение, определяющее свободное напряжение u св , будет
RC | du Cсв | + u Cсв =0. | (6.33) | |
dt |
133
|
u R (0+)= E .В последующие моменты времени,с увеличением напряжения |
Его характеристическое уравнение
RC λ +1=0
имеет единственный корень λ = −1 (RC), поэтому
1 | t | t | ||||
u Cсв = Ae λ t = Ae− | = Ae− | , | ||||
RC | τ | |||||
где τ = RC — постоянная времени. |
Напряжение на зажимах конденсатора в установившемся режиме
u Cпр = E .
(6.34)
(6.35)
(6.36)
Переходной процесс в цепи определяется суммой свободной и принужденной составляющих, поэтому из (6.35) и (6.36) следует:
|
|
− t | + E . | ||
u C = u Cсв + u Cпр = Ae τ | (6.37) |
Для определения постоянной интегрирования A воспользуемся 2-м законом коммутации. До коммутации напряжение на конденсаторе было равно нулю ( u C (0 − ) = 0 ), так как конденсатор не был заряжен, следовательно, в первый момент
времени после коммутации напряжение u C (0+ ) будет также равно нулю:
u C (0−)= u C (0+)= A + E =0.
Отсюда A = −E , поэтому выражение (6.37) можно представить в виде
| − | t |
| |||||
− e | τ | , | τ = RC , | (6.38) | ||||
u C = E 1 | ||||||||
т.е. напряжение на ёмкости нарастает до установившегося значения (6.36) по экспоненциальному закону с постоянной времени τ , которая определяет скорость этого процесса.
Ток в ёмкостном элементе с ёмкостью C , т.е. ток в последовательной R , C –
цепи:
i = C | du C | = | E | e− | t | |||
τ | . | (6.39) | ||||||
dt | ||||||||
R | ||||||||
Напряжение на резистивном элементе с сопротивлением R | пропорционально |
току (6.39):
− | t |
| ||||
u R = Ri = Ee τ .
| (6.40) | |||||
Графики изменения величин u C , i и u R в переходном процессе, | построенные |
согласно формулам (6.38) – (6.40), приведены на рисунке 6.6, б. В первый момент времени после коммутации ток в цепи ограничен только сопротивлением, т.е. i(0+)= E R ,а напряжение на резисторе скачком возрастает до величины ЭДС
источника:
на конденсаторе, ток в цепи по экспоненциальному закону уменьшается до нуля. Примечание –Ток в рассматриваемой цепи может изменяться скачком,
поскольку она не содержит элемента, обладающего индуктивностью. Это необходимо учитывать в случаях, когда к источнику напряжения подключается цепь, содержащая конденсатор.
Короткое замыкание конденсатора в цепи постоянного тока
Исследуем переходной процесс, возникающий при коротком замыкании
134
R , C –цепи(конденсатора),подключенной к источнику постоянного напряжения,т.е.режим разряда конденсатора ёмкостью C через сопротивление R (рисунок 6.7, а)
а) б)
Рисунок 6.7 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений в конденсаторе (б) при коротком замыкании
|
|
Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа:
RC | du C | + u C =0. | (6.41) | |
dt | ||||
Так как дифференциальное уравнение (6.41) | однородное, т.е. совпадает с |
уравнением (6.33),то его общее решение содержит только свободную составляющую:
|
| − | t |
| ||
u C = u Cсв = Ae τ , | ||||||
где постоянная времени τ = RC . Поскольку в докоммутационном режиме напряжение | ||||||
на конденсаторе | ||||||
u C (0−)= E , | ||||||
то постоянная интегрирования A = E и выражение для переходного напряжения | ||||||
− | t |
| ||||
u C = Ee τ , τ = RC . | (6.42) |
Ток при разряде конденсатора и напряжение на резистивном элементе равны:
i =− | E | e− | t | u R =−Ee− | t | |||||
τ |
| , | τ |
| (6.43) | |||||
R | ||||||||||
Графики изменения величин u C , | i | и u R в переходном процессе, | построенные |
согласно формулам (6.42), (6.43), приведены на рисунке 6.7, б.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 495; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!