Пример решения транспортной задачи.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

В городе N имеется 4 склада Аi, на которых хранится ткань (в рулонах) и 5 магазинов Bj, занимающихся продажей ткани. Ниже, в таблице, приведены данные по количеству рулонов на каждом складе, запросы магазинов и стоимость перевозки одного рулона из Аi в Bj. Необходимо составить такой план перевозок, при котором запросы магазинов будут удовлетворены при минимальной суммарной стоимости перевозок.

Магазины Склад	B1 (b1=40)	B2 (b2=50)	B3 (b3=15)	B4 (b4=75)	B5 (b5=40)
А1 (а1=50)	1,0	2,0	3,0	2,5	3,5
А2(а2=20)	0,4	3,0	1,0	2,0	3,0
А3(а3=75)	0,7	1,0	1,0	0,8	1,5
А4(а4=80)	1,2	2,0	2,0	1,5	2,5

В данном случае Σai=225 >Σbj=220 => имеем дело с открытой моделью транспортной задачи. Сведем ее к закрытой введением фиктивного магазина B6 с потребностью b5=225-220=5 и стоимостью перевозок сi6=0.Имеем таблицу:

Магазины Склад	B1 (b1=40)	B2 (b2=50)	B3 (b3=15)	B4 (b4=75)	B5 (b5=40)	B6 (b6=5)
А1 (а1=50)	1,0	2,0	3,0	2,5	3,5	0
А2(а2=20)	0,4	3,0	1,0	2,0	3,0	0
А3(а3=75)	0,7	1,0	1,0	0,8	1,5	0
А4(а4=80)	1,2	2,0	2,0	1,5	2,5	0

Математическая модель: обозначим xij – количество товара, перевозимого из Аi в Bj. Тогда

x11 x12 x13 x14 x15 x16

x21 x22 x23 x24 x25 x26

X = x31 x32 x33 x34 x35 x36 - матрица перевозок.

x41 x42 x43 x44 x45 x46

min(x11+2x12+3x13+2,5x14+3,5x15+0,4x21+3x22+x23+2x24+3x25+0,7x31+x32+x33+0,8x34+1,5x35++1,2x41+2x42+2x43+1,5x44+2,5x45) (1)

x11+x12+x13+x14+x15+x16=50

x21+x22+x23+x24+x25+x26=20

x31+x32+x33+x34+x35+x36=75

x41+x42+x43+x44+x45+x46=80

x11+x21+x31+x41=40 (2)

x12+x22+x32+x42=50

x13+x23+x33+x43=15

x14+x24+x34+x44=75

x15+x25+x35+x45=40

x16+x26+x36+x46=5

xij≥0 (i=1,2,3,4 ; j=1,2,3,4,5,6 ) (3)

Двойственная ЗЛП:

max(50u1+20u2+75u3+80u4+40v1+50v2+15v3+75v4+40v5+5v6) (1*)

u1+v1≤1

u1+v2≤2

u1+v3≤3 (2*)

u1+v4≤2,5

u1+v5≤3,5

u1+v6≤0

ui,vj – произвольные (i=1,2,3,4 ; j=1,2,3,4,5,6 ) (3*)

Будем искать первоначальный план по методу наименьшей стоимости:

1) x21=20 и 2-ую строку исключаем.2) x31=20 и 1-ый столбец исключаем.

3) x34=55 и 3-ю строку исключаем.4) x44=20 и 4-ый столбец исключаем.

5) x12=50 и 1-ю строку и 2-ой столбец исключаем и x32=0. 6) x43=150 и 3-ий столбец исключаем.7) x45=40 и 5-ый столбец исключаем.x46=5.Составим таблицу. Здесь и далее в нижнем правом углу записываем значение перевозки.

Магазины Склад

B1 (b1=40)

B2 (b2=50)

B3 (b3=15)

B4 (b4=75)

B5 (b5=40)

B6 (b6=5)

А1 (а1=50)

1,0

2,0

3,0

2,5

3,5

А2(а2=20)

0,4

3,0

1,0

2,0

3,0

А3(а3=75)

0,7

1,0

0,8

1,5

А4(а4=80)

1,2

2,0

1,5

2,5

Стоимость 1-ого плана:

D1=2•50+0,4•20+0,7•20+0,8•55+2•15+1,5•20+2,5•40=326.

Будем улучшать этот план методом потенциалов: ui- потенциал Аi ,vj- потенциал Bj. Тогда u1+v2=2,u2+v1=0,4, u3+v1=0,7, u3+v2=1, u3+v4=0,8, u4+v3=2, u4+v4=1,5, u4+v5=2,5 ,u4+v6=0.Положим u1=0,тогда v2=2,u3=-1,v1=1,7,v4=1,8, u2=-1,3,u4=-0,3, v3=2,3,v5=2,8,v6=0,3.Составим таблицу:

Магазины Склад

B1 (b1=40) v1=1,7

B2 (b2=50) v2=2

B3 (b3=15) v3=2,3

B4 (b4=75) v4=1,8

B5 (b5=40) v5=2,8

B6 (b6=5) v6=0,3

0,7

А1 (а1=50)

U1=0

1,0

- 0,7

2,0

- 0,7

3,0

- 0,7

2,5

0,3

3,5

А2(а2=20)

U2=-1,3

- 2,3

0,4

3,0

- 1,5

1,0

- 1,5

2,0

- 1

3,0

А3(а3=75)

U3=-1

0,7

0,3

1,0

0,3

0,8

- 0,7

1,5

0,2

А4(а4=80)

U4=-0,3

- 0,3

1,2

2,0

1,5

2,5

В верхнем левом углу здесь и далее записываем значение ui+vj-cij. Имеем: u1+v1--c11 =0,7>0, u1+v6-c16 =0,3>0, u3+v3-c33 =0,3>0, u3+v5-c35 =0,3>0,

u4+v1-c41 =0,2>0. => По критерию оптимальности, первый план не оптимален. Далее max(0,7;0,3;0,3;0,3;0,2)=0,7. => Поместим перевозку в клетку А1В1, сместив 20=min(20,50) по циклу, указанному в таблице штрихом. Получим новую таблицу. Найдем потенциалы: u1+v1=1,u1+v2=2,u2+v1=0,4,u3+v2=1, u3+v4=0,8, u4+v3=2, u4+v4=1,5, u4+v5=2,5 , u4+v6=0. Положим u1=0,тогда v1=1,u2=-0,6,v2=2,v4=1,8, u3=-1, u4=-0,3,v3=2,3,v5=2,8,v6=0,3. Составим таблицу:

Магазины Склад

B1 (b1=40) v1=1

B2 (b2=50) v2=2

B3 (b3=15) v3=2,3

B4 (b4=75) v4=1,8

B5 (b5=40) v5=2,8

B6 (b6=5) v6=0,3

А1 (а1=50)

U1=0

1,0

- 0,7

2,0

- 0,7

3,0

- 0,7

2,5

0,3

3,5

А2(а2=20)

U2=-0,6

- 1,6

0,4

0,7

3,0

- 0,8

1,0

- 0,8

2,0

- 0,3

3,0

-0,7

А3(а3=75)

U3=-1

0,7

0,3

1,0

0,3

0,8

- 0,7

1,5

-0,5

А4(а4=80)

U4=-0,3

- 0,3

1,2

2,0

1,5

2,5

Стоимость 2-ого плана:

D2=1•20+2•30+0,4•20+1•20+0,8•55+2•15+1,5•20+2,5•40=312.

Имеем:u1+v6-c16 =0,3>0, u2+v3-c23 =0,7>0, u3+v3-c33 =0,3>0, u3+v5-c35 =0,3>0. => По критерию оптимальности, второй план не оптимален. Далее max(0,3;0,7;0,3;0,3)=0,7 => Поместим перевозку в клетку А2В3, сместив 15=min(20,30,55,15) по циклу, указанному в таблице штрихом. Получим новую таблицу. Найдем потенциалы: u1+v1=1,u1+v2=2,u2+v1=0,4,u3+v2=1, u3+v4=0,8, u2+v3=1, u4+v4=1,5, u4+v5=2,5 , u4+v6=0. Положим u1=0,тогда v1=1,u2=-0,6,v2=2,v4=1,8, u3=-1, u4=-0,3,v3=1,6, v5=2,8, v6=0,3. Составим таблицу:

Магазины Склад

B1 (b1=40) v1=1

B2 (b2=50) v2=2

B3 (b3=15) v3=1,6

B4 (b4=75) v4=1,8

B5 (b5=40) v5=2,8

B6 (b6=5) v6=0,3

А1 (а1=50)

U1=0

1,0

-1,4

2,0

- 0,7

3,0

- 0,7

2,5

0,3

3,5

А2(а2=20)

U2=-0,6

- 1,6

0,4

3,0

- 0,8

1,0

- 0,8

2,0

- 0,3

3,0

-0,7

А3(а3=75)

U3=-1

0,7

-0,4

1,0

0,3

0,8

- 0,7

1,5

-0,5

А4(а4=80)

U4=-0,3

- 0,3

1,2

-0,7

2,0

1,5

2,5

Стоимость 3-его плана:

D3=1•35+2•15+0,4•5+1•15+0,8•40+1•35+1,5•35+2,5•40=301,5.

Имеем:u1+v6-c16 =0,3>0,u3+v5-c35 =0,3>0. => По критерию оптимальности, третий план не оптимален. Далее max(0,3;0,3)=0,3. => Поместим перевозку в клетку А3В5, сместив 40=min(40,40) по циклу, указанному в таблице штрихом. Получим новую таблицу. Чтобы 4-ый план был невырожденным, оставим в клетке А4В5 нулевую перевозку. Найдем потенциалы: u1+v1=1,u1+v2=2,u2+v1=0,4,u3+v2=1, u4+v5=2,5, u2+v3=1, u4+v4=1,5, u3+v5=1,5 , u4+v6=0. Положим u1=0,тогда v1=1,u2=-0,6,v2=2,v4=1,5, u3=-1,u4=0, v3=1,6, v5=2,5, v6=0. Составим таблицу:

Магазины Склад

B1 (b1=40) v1=1

B2 (b2=50) v2=2

B3 (b3=15) v3=1,6

B4 (b4=75) v4=1,5

B5 (b5=40) v5=2,5

B6 (b6=5) v6=0

А1 (а1=50) U1=0

1,0

2,0

3,0

2,5

3,5

А2(а2=20) U2=-0,6

0,4

3,0

1,0

2,0

3,0

-0,7

А3(а3=75)

U3=-1

0,7

-0,4

1,0

-0,3

1,0

0,8

- 1

1,5

-0,2

А4(а4=80)

U4=0

1,2

-0,4

2,0

1,5

2,5

Стоимость 4-ого плана: D4=1•35+2•15+0,4•5+1•15+1•35+1,5•40+1,5•75=289,5.

Для всех клеток последней таблицы выполнены условия оптимальности:

1)ui+vj-сij=0 для клеток, занятых перевозками;

2)ui+vj-сij ≤0 для свободных клеток.

Несодержательные ответы:

Прямой ЗЛП:

35 15 0 0 0 0

5 0 15 0 0 0

X = 0 35 0 0 40 0

0 0 0 75 0 5

min=289,5.

Двойственной ЗЛП:

U1=0 ; U2=-0,6 ; U3=-1 ; U4=0 ; V1=1 ; V2=2 ; V3=1,6 ; V4=1,5 ; V5=2,5 ; V6=0.

max=289,5.

Так как min=max, то по критерию оптимальности найдены оптимальные решения прямой и двойственной ЗЛП. Содержательный ответ: Оптимально перевозить так:

Из А1 в B1 – 35 рулонов полотна;

Из А1 в B2 – 15 рулонов полотна;

Из А2 в B1 – 5 рулонов полотна;

Из А2 в B3 – 15 рулонов полотна;

Из А3 в B2 – 35 рулонов полотна;

Из А3 в B5 – 40 рулонов полотна;

Из А4 в B4 – 75 рулонов полотна.

При этом стоимость минимальна и составит Dmin=289,5. 5 рулонов полотна необходимо оставить на складе А4 для их последующей перевозки в другие магазины.

8.Выводы.

В курсовой работе изложены основные подходы и методы решения транспортной задачи, являющейся одной из наиболее распространенных задач линейного программирования. Решение данной задачи позволяет разработать наиболее рациональные пути и способы транспортирования товаров, устранить чрезмерно дальние, встречные, повторные перевозки. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий и фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т.д.

Алгоритм и методы решения транспортной задачи могут быть использованы при решении некоторых экономических задач, не имеющих ничего общего с транспортировкой груза. В этом случае величины тарифов cij имеют различный смысл в зависимости от конкретной экономической задачи. К таким задачам относятся следующие:

оптимальное закрепление за станками операций по обработке деталей. В них cij является таким экономическим показателем, как производительность. Задача позволяет определить, сколько времени и на какой операции нужно использовать каждый из станков, чтобы обработать максимальное количество деталей. Так как транспортная задача требует нахождения минимума, то значения cij берутся с отрицательным знаком;

оптимальные назначения, или проблема выбора. Имеется m механизмов, которые могут выполнять m различных работ с производительностью cij. Задача позволяет определить, какой механизм и на какую работу надо назначить, чтобы добиться максимальной производительности;

задача о сокращении производства с учетом суммарных расходов на изготовление и транспортировку продукции;

увеличение производительности автомобильного транспорта за счет минимизации порожнего пробега. Уменьшение порожнего пробега сократит количество автомобилей для перевозок, увеличив их производительность;

решение задач с помощью метода запрещения перевозок. Используется в том случае, если груз от некоторого поставщика по каким-то причинам не может быть отправлен одному из потребителей. Данное ограничение можно учесть, присвоив соответствующей клетке достаточно большое значение стоимости, тем самым в эту клетку не будут производиться перевозки.

Таким образом, важность решения данной задачи для экономики несомненна. Приятно осознавать, что у истоков создания теории линейного программирования и решения, в том числе и транспортной задачи, стоял русский ученый – Леонид Витальевич Канторович.

Список литературы

1. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. ”Высшая математика. Математическое программирование ”, Минск, Вышейшая школа, 2001г.

2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. ”Основы математики и ее приложения в экономическом образовании”, Издательство “Дело”, Москва 2001г.

3. В.И. Ермаков “Общий курс высшей математики для экономистов”, Москва, Инфра-М, 2000г.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 222; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!