О порядках силовских подгрупп общей линейной группы

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

В заметке (1) исправлена ошибка, допущенная Бернсайдом в работе (2). А именно в (3) доказано, что группа порядка , где и - различные простые числа и , либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , , и ;

2) , , и , если , , если ;

3) , , и .

Доказательство этого результата сводится к случаю, когда силовская -подгруппа из является минимальной инвариантной подгруппой, совпадающей со своим централизатором. В этом случае силовская - подгруппа из изоморфно вкладывается в общую линейную группу и возникает необходимость сравнить порядок силовской -подгруппы из с числом . В лемме 2.5 из указывались значения , и нижняя граница для числа , при которых порядок силовской - подгруппы из больше .

Цель настоящей заметки - указать все значения чисел , и , при которых силовская -подгруппа из имеет порядок больший, чем .

Теорема Пусть и - различные простые числа и - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только тогда , когда выполняется одно из условий:

1) , , - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , , - любое натуральное число ;

3) , , - любое натуральное число за исключением , где ; , где - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для дополнительно исключаются числа , , и ; для дополнительно исключаются и .

Доказательство теоремы основывается на формуле для вычисления порядка силовской -подгруппы общей линейной группы , полученной в .

Пусть и - различные простые числа, - показатель числа по модулю и , не делит . Через обозначим порядок силовской -подгруппы группы , а через - показатель, с которым входит в произведение . В доказана следующая

Лемма Если , то . Если , то и число определяется так: пусть - наименьшее целое, при котором и ; если , то ; если , то , - нечетное число.

Напомним, что - целая часть числа , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее (см. ).

Лемма Если - натуральное число, то

Доказательство. Пусть - наибольшее целое число, при котором . Так как , то

С другой стороны,

и .

Лемма Если - натуральное число , то .

Доказательство проводим индукцией по . Если , то

Пусть утверждение верно для . Докажем его для .

Если кратно , то

. Но - целое число, а -

дробное. Поэтому

Если кратно , то .

Пусть, наконец, оба числа и не кратны , тогда , причем не целое число. Так как число целое, то , откуда . Лемма доказана.

Лемма Если - натуральное число, а - наибольшее целое число, при котором , то .

Доказательство. По лемме , , поэтому . Неравенство докажем индукцией по . Для и справедливость неравенства проверяется непосредственно.

Пусть и пусть это неравенство верно для всех . Докажем его для . Разность обозначим через . Так как , то . Поэтому если - наибольшее целое число, при котором, , то и по индукции имеем

Вычислим . Так как

то

Лемма доказана.

Замечание. Границы, указанные в лемме , точные. Левая граница достигается при , правая - при .

Лемма Если натуральное число , то и .

Доказательство обоих неравенств легко получить индукцией по .

Доказательство теоремы 3. Сохраним все обозначения леммы . Рассмотрим вначале случай, когда . По лемме (5), в этом случае , где . Допустим, что . Так как , то и . Поэтому , и, применяя лемму , получаем , что противоречит условию теоремы.

Значит, , поэтому либо , либо .

Пусть . Тогда , а так как , то и .

Пусть . Тогда . Если четное, то , т.е.4 делит . Противоречие. Значит, нечетное. Поэтому , и так как число нечетное, то . Таким образом, если , то .

Итак, если , то либо и , либо и .

Пусть . Тогда из леммы следует, что

Предположим, что . Тогда (см. лемму ), а так как при справедливо неравенство , то . Учитывая, что или , получаем .

Если , то и . Кроме того, , поэтому

и .

Таким образом, при выполняется неравенство . Так как , то . Противоречие с условием теоремы.

Следовательно, или и или .

Итак, нам необходимо рассмотреть следующие случаи: , ; , ; , .

Случай 1. Пусть , . В этом случае

Если , то, вычисляя для каждого значения с помощью натуральных логарифмов, убеждаемся; что в точности для следующих , , , , , , , , -- , -- .

Пусть и - наибольшее натуральное число, при котором . Ясно, что . С помощью индукции легко проверяется неравенство; . Используя лемму , мы получаем:

Теперь

Таким образом, .

Случай 2. Пусть , . В этом случае , где , если четное, и если нечетное, а . Если или 3, а , то непосредственно убеждаемся, что . Если , то , а и т.е. . Используя лемму , получаем

т.е.

Теперь пусть . Из леммы имеем или . Поэтому . Осталось рассмотреть случай, когда . Тогда , поэтому, используя леммы и , получаем:

Таким образом, при любом имеет место неравенство .

Случай 3. Пусть , . В этом случае , где - целая часть числа . Если , то и . Отсюда следует, что . Противоречие. Значит, и . Мы можем записать , .

Рассмотрим вначале случай, когда , т.е. когда .

Тогда , .

Если , то , где - основание натуральных логарифмов и

, т.е. .

Если , то и , т.е. . Найдем значения для и . Для имеем:

Для имеем:

Если , то , и при получаем

, т.е. .

Если , то . Определим для и значения , при которых . Для имеем , т.е. , а . Для имеем , т.е. , а .

Теперь рассмотрим случай, когда , т.е. когда .

Если , то и . Непосредственно убеждаемся, что лишь при или имеет место неравенство .

Если , то и . Непосредственно убеждаемся, что лишь только при и имеет место неравенство .

Пусть . Так как , a , то

так как .

Таким образом, .

Пусть теперь . Тогда . Пусть вначале . Тогда , и по лемме 3 имеем . Поэтому

Здесь мы воспользовались неравенством , которое вытекает из неравенства . Таким образом, доказано, что .

Остался случай . Так как , то

и, применяя лемму , получаем

Таким образом, .

Теорема доказана.

Заключение

Итак, в данной курсовой работе исследовано существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах. Также изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема. Пусть - конечная разрешимая группа, порядка , - простое число и не делит . Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , и делит порядок ;

2) , делит порядок , где - простое число, причем , если , и , если ;

3) , 1 и делит порядок .

Теорема. Пусть - группа порядка , и - простые числа. Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений: