Тема 3. Пропозициональная логика

 

или логика элементарных высказываний изучает свойства логических операций Ø, Ù, Ú, Þ, Û, которые по смыслу их введения являются операциями над истинностными значениями:

 

p	q	Ø p	p Ù q	p Ú q	p Þ q	p Û q
Л	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	Л	И	И	Л
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
И	И	Л	И	И	И	И

 

Если высказывания р, q различны и элементарны, то эта таблица называется истинностной таблицей высказываний (p, q,) Øp, pÙq, pÚq, pÞq, pÛq. В общем случае при составлении истинностной таблицы какого-либо перечня высказываний надо поместить на ее вход все различные пропозициональные компоненты этих высказываний, сделать полный перебор истинностных значений во входных столбцах и записать соответствующие истинностные значения в результирующих столбцах.

 

Пример. В комнате без окон темно и неуютно.

Универсум - множество комнат

g (c₁) - c₁ имеет окно                p - комната имеет окно

g (c₁) - в c₁ темно                       q - в комнате темно

g (c₁) – в c₁ уютно                    r - в комнате уютно

 

(Ø(g (c₁)))Þ((g (c₁))Ù(Ø(g (c₁))))     ØpÞqÙØr

   p            q            r

 

p	q	r	Ø p	Ø r	q Ù Ø r	Ø p Þ q Ù Ø r
Л	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	Л	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	И
Л	И	И	И	Л	Л	Л
И	Л	Л	Л	И	Л	И
И	Л	И	Л	Л	Л	И
И	И	Л	Л	И	И	И
И	И	И	Л	Л	Л	И

 

Тавтология или тавтологически истинное высказывание - это высказывание со сплошными И в его столбце его истинностной таблицы. Высказывание q называется тавтологическим следствием (из) высказываний p₁,…,p_n, если в истинностной таблице высказываний p₁,…,p_n,,q столбец q содержит И в любой строке, которая содержит И во всех столбцах p₁,…,p_n. Например, построенная выше таблица показывает, что:

ØpÞqÙØr - есть тавтологическое следствие из Øp, qÙØr;

Ør, q являются тавтологическими следствиями из qÙØr;

 r есть тавтологическое следствие из p, Øp.

        

Теорема об отрицании отрицания: ØØp = p

Теорема об отрицании конъюнкции: Ø(pÙq) = ØpÚØq

Теорема об отрицании дизъюнкции: Ø(pÚq) = ØpÙØq

Теорема об исключении импликации: pÞq = ØpÚq

Теорема об исключении эквиваленции: pÛq = pÙqÚØpÙØq

Теорема об устранении альтернативы: pÚØpÙq = pÚq, ØpÚpÙq = ØpÚq

Теорема о коммутативности конъюнкции: pÙq = qÙp

Теорема о коммутативности дизъюнкции: pÚq = qÚp

Теорема об ассоциативности конъюнкции: pÙ(qÙr) = (pÙq)Ùr

Теорема об ассоциативности дизъюнкции: pÚ(qÚr) = (pÚq)Úr

Теорема о дистрибутивности конъюнкции: pÙ(qÚr) = (pÙq)Ú(pÙr)

Теорема о дистрибутивности дизъюнкции: pÚ(qÙr) = (pÚq)Ù(pÚr)

Теорема о равносильности: р = q тогда и только тогда когда pÛq = И

Теорема  о тавтологическом следствии: q является тавтологическим

следствием из р₁,…,p_n  тттк р₁Ù…Ùр Þ q является тавтологией. Эти три теоремы

легко доказываются с помощью истинностных таблиц.

 

Арифметический способ записи высказываний: исключаются знаки Þ, Û

и вместо Л, И, Øp, pÙq, pÚq употребляются соответственно 0, 1, `p, p q, p + q.

Например, арифметической записью высказывания (rÚpÞqÙr) будет .

При арифметической записи высказываний с ними можно обращаться так, как будто они обозначают числа 0, 1, а. Логический плюс отличается от арифметического только тем, что 1 + 1 = 1. При этом полезно помнить следующие равенства:

p Þ q = `p + q                                        

p Û q = p q + `p `q                                 p p = p

                                             p + p = p

                                                 p`p = 0

p + `p q = p + q                                        p +`p = 1

p + p q = `p + q                                       1 + p = 1

Равенства в левой колонке представляют собой другую запись уже доказанных выше теорем, а равенства в правой колонке устанавливаются непосредственной проверкой с учетом равенств 0 = 1, 1 = 0.

Пример. Доказательство тавтологичности высказываний:

 

pÞqÞp =`p + (qÞp) =`p +`q + p =`p + p +`q = 1 +`q = 1

pÞqÞpÙq =`p +`q + p q =  + p q = 1

(ØpÞØq)Þ(ØqÞp)Þq =  +q =`q p +`q`p + q = `q (p +`p) + q =`q + q = 1

 

Пример. Выразительная достаточность пар ØÙ, ØÚ, ØÞ.

 

pÙq = Ø(ØpÚØq) = Ø(pÞØq)

pÚq = Ø(ØpÙØq) = ØpÞq

pÞq = Ø(pÙØq) = ØpÚq

pÛq = Ø(Ø(pÙq)ÙØ(ØpÙØq))

pÛq = Ø(ØpÙq)ÙØ(pÙq)

pÛq = Ø((pÞq)Þ Ø(qÞp))

 

Доказательство последнего равенства:

pÛq = p q +`p`q

Ø((pÞq)ÞØ(qÞp)) =  = (`p + q)(q +`p) = `p`q +`p p +`q q + q p =`p`q + 0 + 0 + q p = p q +`p`q

 

Пример. Упрощение высказываний.

        

(ØpÚØqÚØr)Ù(qÚØp)Ú(pÞq)Ùq = (`p +`q +`r)(q +`p) + q(`p + q) = (`p + q)(`p +`q +`r + q) = (`p + q)(1 +`p + `r) = `p + q = pÞq

(pÞq)Þp =  + p = p`q + p = p(`q + 1) = p 1 = p

 

Пример. Доказательство равносильности высказываний.

[ØpÞØqÙØr] = `p Þ`q`r = `p +`q`r = p +`q`r

{(ØpÞØq)Ù(ØpÞØr)} = (`pÞ`q)(`pÞ`r) = (p +`q)(p +`r) = p + p`r +`q p +`q`r = p(1 +`r +`q) +`q`r = p +`q`r

Т. о. […] = {…} т. е. являются равносильными два полученных ранее перевода высказывания «чай …».

 

Правилом отделения называется правило D p, (p)Þ(q), q

Теорема о выводе в пропозициональной логике: высказывание p₀ является тавтологическим следствием из p₁,…,p_n тттк его можно получить из p₁,…, p_n с помощью правила отделения и нижеследующих пятнадцати беспосылочных правил:

D pÞqÞp

D (pÞpÞq)Þ(pÞq)

D (pÞq)Þ((qÞr)Þ(pÞr))

D pÙqÞp

D pÙqÞq

D (pÞq)Þ((pÞr)Þ(pÞqÙr))

D pÞpÚq

D qÞpÚq

D (pÞr)Þ((qÞr)Þ(pÚqÞr))

D (pÛq)Þ(pÞq)

D (pÛq)Þ(qÞp)

D (pÞq)Þ((qÞp)Þ(pÛq))

D (pÞq)Þ(ØqÞØp)

D pÞØØp

D ØØpÞp

 

Другими словами, какое–либо высказывание p₀ является тавтологическим следствием из p₁,…,p_n  тттк p₀ можно сделать членом последовательности высказываний, которая является индуктивной относительно этих шестнадцати правил и правил D p₁,…, Dp_n. Теорема не исключает случай n = 0.

Теорема о самодостаточной выразительности пропозициональной логики: для любой истинностной таблицы с n входными столбцами p₁,…,p_n и любого распределения истинностных значений в ее результирующем столбце можно составить соответствующее этому столбцу высказывание: справа от всех строк с истиной в результирующем столбце записываем конъюнкцию p₁… p_n, затем над некоторыми p_k ставим черту отрицания так, чтобы все эти конъюнкции для всех строк были истинными, затем составляем дизъюнкцию из получившихся конъюнкций. Например:

p            q            r            ?

0            0            0            0

0            0            1            0

0            1            0            1            p q`r

0            1            1            0

1            0            0            1            p`q`r

1            0            1            0

1            1            0            1            p q`r

1            1            1            0

 

`p q`r + p`q`r + p q`r = `p q`r + p`r(`q + q) =`p q`r + p`r =`r(`p q + p) =`r(p + q) = ØrÙ(pÚq)

Замечание. Если в результирующем столбце содержится только Л, то в качестве искомого высказывания можно взять p₁ÙØp₁.

Пример применения теоремы о самодостаточной выразительности. Турист приехал в страну, где каждый житель всегда лжет либо всегда говорит правду. Какой вопрос должен задать турист местному жителю, чтобы узнать, какая из двух дорог ведет в столицу.

p – житель говорит правду

q – эта дорога ведет в столицу

r – высказывание для вопроса

p	q	r	Нужный ответ
0	0	1	Нет	`p`q
0	1	0	Да
1	0	0	Нет
1	1	1	Да	p q

 

r =`p`q + p q = pÛq т. e. турист должен спросить: верно ли, что Вы скажите правду если и только если эта дорога ведет в столицу.

 

Пример проверки рассуждения «(Профсоюзы поддержат президента на предстоящих выборах | p) только если (он подпишет законопроект о повышении заработной платы ½q). (Фермеры окажут президенту поддержку ½r) только если (он наложит вето на законопроект ½s). Очевидно, что он не подпишет законопроекта или не наложит на него вето. Следовательно президент потеряет голоса профсоюзников или голоса фермеров».

(pÞq)Ù(rÞs)Ù(ØpÚØs) Þ ØpÚØr =  +`p +`r =`p q + r s + q s +`p +`r =  + q s =  + q s =`p +`q +`r +`s +q s =`p +`r +  + q s = `p +`r +1 = 1 – тавтология, т.е. рассуждение правильное.

 

    Пример проверки рассуждения «(В бюджете возникнет дефицит | p), если (не повысят пошлины | Øq). Если в бюджете будет дефицит, то (государственные расходы на общественные нужды сократятся | r). Значит, если повысят пошлины, то государственные расходы на общественные нужды не сократятся».

(ØqÞp)Ù(pÞr)Þ(qÞØr) =  +`q + `r =`q`p + p`r +`q +`r = `q(`p +1) +`r(p + 1) =`q +`r =  - не тавтология, т.е. нельзя сказать, что рассуждение правильно.

 

Пример проверки рассуждения «Если (подозреваемый совершил эту кражу | p), то (она была тщательно подготовлена | q) или (он имел соучастника | r). Если бы кража была подготовлена тщательно, то, если бы был соучастник, украдено было бы гораздо больше. Значит, подозреваемый невиновен».

(pÞqÚr)Ù(qÞ(rÞØp))ÞØp =  +`p = p`q`r + p q r +`p = q r +`q`r +`p

– не тавтология.

 

Пример проверки рассуждения «(Если наступит мир | p), то (возникнет депрессия | q), разве что (страна проведет программу перевооружения | r) или осуществит грандиозную социальную программу | s). Но договориться о целях такой грандиозной программы невозможно. Следовательно если наступит мир и не будет депрессии, то будет осуществляться программа перевооружения».

(pÞqÚØqÙ(rÚs))ÙØsÞpÙØqÞr =  =

т.е. рассуждение правильное.

 

Пример сокращения текста «Члены финансового комитета должны избираться среди членов дирекции. Нельзя быть одновременно членом дирекции и членом библиотечного совета, не будучи членом финансового комитета. Член библиотечного совета не может быть членом финансового комитета».

 

p – он является членом финансового комитета

q – он является членом дирекции

r – он является членом библиотечного фонда

(pÞq)Ù(ØpÞØ(qÙr))Ù(rÞØp) = (`p + q)(p +`q +`r)(`r +`p) = (`p +q)  = (`p + q) =(`p + q)(`p`q +`r) = (`p + q)(`p + q)`q +`r) = (`p + q)(`q +`r) = (pÞq)ÙØ(qÙr)

Таким образом, можно отбросить подчеркнутую часть текста.

Пример анализа рассуждения «(это преступление совершено в Кустанае | q). (Петров во время совершения преступления находился в Ростове | r). Следовательно (Петров не совершал этого преступления | Øp)».

qÙrÞØp – не тавтология

«Преступление совершено в Кустанае. Поэтому если Петров совершил это преступление, то (он во время совершения преступления находился в Кустанае |s). Но Петрова в это время в Кустанае не было. Значит, Петров не совершал этого преступления».

qÙ(qÞpÞs)ÙØp = … = 1 – тавтология т.е. рассуждение правильное.

Рассуждение останется правильным, если из него выбросить первое предложение и ссылку на него во втором предложении:

(pÞs)ÙØsÞØp =  +`p =  +`p = p + s +`p = 1 + s = 1

Задача. Выяснить, кто из четверых виновен на основе информации «Петров виновен, только если виновен Кулагин. Неверно, что виновность Родионова влечет виновность Сидорова и что Кулагин виновен, а Сидоров нет».

p, q, r, s – виновен Петров, Кулагин, Родионов, Сидоров.

(pÞq)ÙØ(rÞs)ÙØ(qÙØs) = (`p + q)  = (`p + q) r`s(`q + s) = (`p + q)`r s`q = `p`q r`s

т.е. Родионов виновен, остальные не виновны.

Задача Кислера. Обвиняемые в подделке налоговых документов Браун, Джонс и Смит дают под присягой такие показания.

Браун: Джонс виновен, а Смит не виновен.

Джонс: Если Браун виновен, то виновен и Смит.

Смит: Я не виновен, но хотя бы один из них двоих виновен.

 

Вопрос 1: Совместимы ли данные показания?

Вопрос 2: Какое показание следует из другого?

Вопрос 3: Если все виновны, то кто лжесвидетельствует?

Вопрос 4: Если все сказали правду, то кто виновен?

Вопрос 5: Если невинный говорит правду, а виновный лжет, то кто виновен, а кто невиновен?

 

Б – виновен Браун.

Д – виновен Джонс.

С – виновен Смит.

 

Б	Д	С	Ø Б	Ø Д	Ø С	Б Ú Д	Д Ù Ø С	Б Þ С	Ø С Ù (Б Ú Д)
Л	Л	Л	И	И	И	Л	Л	И	Л
Л	Л	И	И	И	Л	Л	Л	И	Л
Л	И	Л	И	Л	И	И	И	И	И
Л	И	И	И	Л	Л	И	Л	И	Л
И	Л	Л	Л	И	И	И	Л	Л	И
И	Л	И	Л	И	Л	И	Л	И	Л
И	И	Л	Л	Л	И	И	И	Л	И
И	И	И	Л	Л	Л	И	Л	И	Л
Показания							Брауна	Джонса	Смита

 

1. Да, только за счет третьей строки.

2. Из первого третье.

3. Браун и Смит.

4. Джонс виновен, остальные невиновны.

5. Джонс невиновен, остальные виновны.

 

Тема 4. Кванторная логика.

или логика предикатов является расширением пропозициональной логики путем изучения операций ", $. Из определения этих операций следует, что значения высказываний "хp, $хp, понимаются соответственно как конъюнкция p₁Ùp₂Ùp₃Ù… и дизъюнкция p₁Úp₂Úp₃Ú… значений высказывания p для всевозможных значений переменной х. Высказывание p называется кванторологически истинным при любой интерпретации.

Из определений следует, что тавттологически истинное высказывание является кванторологически истинным. Обратное вообще говоря не верно: высказывание "хpÞ$хp является кванторологически истинным, но не является тавтологически истинным.

 

Истинностная таблица.

" х p	$ х p	" х p Þ $ х p
Л	Л	И
Л	И	И
И	Л	Л
И	И	И

 

Истинностная схема.

p 1 , p 2 , p 3 …	" х p  p1 Ù p2 Ù p3 Ù …	$ х p p1 Ú p2 Ú p3 Ú …	" х p Þ $ х p
ЛЛЛ…	Л	Л	И
ЛЛЛ…	Л	И	И
………	…	…	…
ИИИ…	И	И	И

 

Высказывание q называется кванторологическим следствием (из) высказываний р₁,…,p_n, если p является истинным в любой интерпретации, в которой истинными являются p₁,…,p_n.

Вхождением переменной c в высказывание p называется связанным, если оно является вхождением в некоторое подвысказывание вида "х(q) или вида $х(q); в противном случае это вхождение называется свободным.

Например, первое и второе вхождения c₁ в высказывание

((g (c₁))Ù(g (c₁, c₂)))Þ($ c₁(g (c₁)))

являются свободными, а третье и четвертое – связанными.

Через р{х, а} обозначается результат подстановки терма, а вместо всех свободных вхождений переменной х в высказывание р, причем, если при такой подстановке все вхождения переменных из а остаются свободными, то терм а называется допустимым заменителем для х в р. Например, терм f (c₅) является допустимым заменителем для c₆ в высказывании g ((c₅, (c₆), и не является

допустимым заменителем для c₆ в высказывании $c₅ (g (c₅, c₆)). Высказывание р называется замкнутым (открытым), если оно не имеет свободных (связанных) вхождений переменных.

Теорема о всезначности переменной: р = И тттк "хр = И

Теорема об отрицании обобщения и подтверждения:

Ø"хр равносильно $хØр

Ø$хр равносильно "хØр

Теорема о взаимоисключении кванторов:

"хр равносильно Ø$хØр

$хр равносильно Ø"хØр

Теорема о перестановочности кванторов:

"х"ур равносильно "у"хр

$х$ур равносильно $у$хр

Типовые кванторы. Запись "_qхр обозначает высказывание "х(qÞр), а запись $_qхр обозначает высказывание $х(qÙр).

Теорема о равносильной замене: пусть q есть результат замены в высказывании р какого-либо вхождения подвысказывания r₁ на высказывание r₂; тогда если r₁ и r₂ равносильны, то р и q тоже равносильны.

Позитивным высказыванием называется такое, которое не имеет вхождений знака Ø. Позитивной формой высказывания р называется любое равносильное ему позитивное высказывание .

Теорема о позитивной форме: если отрицания предикатных компонент высказывания р имеют равносильные себе предикаты, то р равносильно некоторому позитивному высказыванию q; высказывание q можно построить с помощью теоремы о равносильной замене, теорем об исключении операций Þ, Û и теорем об отрицании для операций ", $, Ø, Ù, Ú.

Пример построения позитивной формы отрицания высказывания: «для каждого положительного числа е существует положительное число d т.ч. для каждого числа х из х<d следует, что х<е или х£1».

Ø"е$d"х(х<dÞх<еÚх£1 = $e"d$хØ(х<dÞх<eÚх£1) = $e"d$хØ(Øх<dÚх<eÚх£1) = $e"d$х(х<dÙØх<eÙØх£1) = $e"d$х(х<dÙх³eÙх>1) = « существует положительное число е т.ч. для каждого положительного числа d существует число х т.ч. х<d и х³e и х>1».

Теорема о выводе в логике предикатов: нижеследующие шесть правил преобразования высказываний образуют достаточный набор правил вывода в логике предикатов т.е. р₀ является кванторологическим следствием из p₁,…,p_n тттк р₀ может быть получено из р₁,…,р_n с помощью этих шести правил:

D t – правило тавтологии

D s, s Þ r, r – правило отделения

D"хрÞp{x, a} – правило обобщения

D p{x, a} Þ$ xp – правило подтверждения

D qÞr, q Þ"хr – правило общевнесения

D rÞq, $ xrÞq – правило сущевнесения

где t есть тавтология, q не имеет свободных вхождений x, терм а является допустимым заменителем для х в р. Теорема не исключает случай n = 0.

Тема 5. Эгалитарная логика

или логика предикатов с равенством, т.е. с двухместным предикатным символом g²_0, который интерпретируется как знак равенства. Т.о. в эгалитарной логике предикат g²₀(a, b) выражает то, что мы привыкли выражать в виде a = b и понимать как констатацию того, что объекты с обозначениями a, b являются одинаковыми, равными, неотличимыми, идентичными. Эгалитарной интерпретацией формального языка называется такая, в которой g  интерпретируется как знак равенства. Запись p₁, …, p_n│=q_{1, …}, q_m означает, что каждое из высказываний q_{1, …}, q_m является логическим следствием из высказываний p₁, …, p_n т.е. что оно является истинным в любой эгалитарной интерпретации, в которой оказываются истинными p₁, …, p_n. Высказывание p называется логически истинным, если │=p т.е. если p является истинным в любой эгалитарной интерпретации.

Правилами тождества, равенства, неотличимости называются следующие три правила соответственно:

Dg (x, x)

Dg (x_1, y₁)Ù…Ù g (x_n, y_n)Þg (f(x_1, …, x_n), f(y_1, …, y_n))

Dg² (x_1, y₁)Ù…Ù g (x_n, y_n)Þ(g f(x_1, …, x_n)Þ(y_1, …, y_n))

 

Теорема об эгалитарной замене: пусть  q есть результат замены в p некоторых вхождений терма a термом b; тогда если выражение g²₀(a, b) является истинным, то p равносильно q.

Теорема о транзитивности логического следствия: если p₁, …, p_n│=q₁, _…, q_m        и q₁, …, q_m│= r_{1, …}, r_e, то p₁, …, p_n│= r_{1, …}, r_e.

Теорема о расширении списка гипотез: если p₁, …, p_n│= q, то p₀, …, p_n│= q.

Теорема дедукции: если высказывания p₁, …, p_n являются замкнутыми, то p₁, …, p_n│= p тогда и только тогда когда ê= p₁Ù…Ù p_nÞp.

Теорема о конъюнктивизации гипотез: p₁, …, p_n│= p тттк p₁Ù…Ùp_n│= p.

Теорема о выводе в эгалитарной логике: правила тавтологии, отделения, обобщения, подтверждения, общевнесения, сущевнесения, тождества, равенства, неотличимости образуют достаточный набор правил вывода в эгалитарной логике, т.е. p₁, …, p_n│= p тттк p может быть получено из p₁, …, p_n с помощью этого набора правил.

Теорема о сравнительной силе выводов. Если p является тавтологическим следствием из p₁, …, p_n, то p является кванторологическим следствием из p₁, …, p_n. Если p является кванторологическим следствием из р₁,…,р_n, то p является логическим следствием из р₁,…,р_n.

Алгоритм – это…

Теорема о неразрешимости проблемы логического следствия (логической истинности): нельзя придумать алгоритм, который для любых высказываний p₀, …, p_n позволял бы разрешить вопрос о том, является или нет p₀ логическим следствием из p₁, …, p_n. Полезно обратить внимание на то, что проблема тавтологического следствия является разрешимой с помощью истинностных таблиц.

Замечание последние семь теорем не исключают случай n = 0.

Замечание если не оговорено противное, слово логика понимается как эгалитарная логика.

 

Тема 6. Формальные теории

предназначены для четкого изложения и развития тех или иных отраслей человеческих знаний. Задать формальную теорию – значит задать ее функциональные и предикатные символы, а также аксиомы, т. е. некоторые из высказываний, которые являются истинными в данной отрасли знаний. Развивать формальную теорию – значит пополнять запас ее теорем, т. е. таких высказываний, которые являются логическими следствиями аксиом.

Изложение любой формальной теории в принципе можно оформить в виде книжек с доказательными текстами:

 

1	a1 - × - × - × - × - × - × - × - × - × -	ü индуктивная ý последовательность þ термов
…	××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
k	ak - × - × - × - × - × - × - × - × - × -
k+1	r1 - × - × - × - × - × - × - × - × - × -	ü индуктивная ý последовательность формул þ на основе a1,…, ak
…	××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
k+е	re - × - × - × - × - × - × - × - × - × -
k+е+1	s1 - × - × - × - × - × - × - × - × - × -	ü аксиомы ý s1,…, sm есть þ среди r1,…, re
…	××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
k+е+m	sm - × - × - × - × - × - × - × - × - × -
k+е+m+1	t1 - × - × - × - × - × - × - × - × - × -	ü индуктивная ý последовательность теорем þ t1,…, tn есть среди r1,…, re
…	××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
k+е+m+n	tn - × - × - × - × - × - × - × - × - × -

 

Здесь штрих-пунктирная линия обозначает пояснение о том, с помощью какого правила порождения получено соответствующее знакосочетание. Для удобства таких пояснений знакосочетания a₁,…, t_n нумеруются последовательно от 1 до k+е+m+n. Вспомним, что правила порождения теорем являются правилами вывода, что конечная индуктивная последовательность теорем является доказательством и что следующие девять правил, называемых основными, образуют достаточный набор правил вывода из аксиом: правила тавтологии, отделения, обобщения, подтверждения, общевнесения, сущевнесения, тождества, равенства, неотличимости.

Такая форма изложения делает доказательство легко проверяемым, но практически не применяется из-за ее громоздкости.

Способы более компактного изложения формальной теории.

1. Последовательность a₁,…, r_e не записывается, потому что при достаточном навыке термы и формулы распознаются без построения их индуктивных последовательностей.

2. В последовательность t₁,…, t_n включаются теоремы из других доказательных текстов.

3. Для двухместного функционального или предикатного знака v используется операционная форма записи: вместо v(a,b) пишут (a)v(b).

4. При операционной форме записи принимается соглашение об упразднении некоторых пар скобок в соответствии с соглашением об убывании силы связи в последовательности: одноместный функциональный знак, двухместный функциональный знак, одноместный предикатный знак, двухместный предикатный знак, логический знак.

5. Используются специальные начертания для функциональных и предикатных знаков. Например в теории чисел: 0, 1, 2, 3 - нульместные функциональные знаки; Ö, sin, cos - одноместные функциональные знаки; +, -, ´, /,­ - двухместные функциональные знаки; <, >, £, ³ - двухместные предикатные знаки.

6. Используются знаковые фигуры. Например, å_х=3х обозначает сумму 3+4+5.

7. Вводится определяющая аксиома g(х₁,...,х₁₁)Û р для нового n-местного предикатного символа g. Здесь переменные х₁,...,х_n попарно различны, а высказывание р не имеет свободных вхождений переменных, отличных от х₁,...,х_n.

8. Вводится определяющая аксиома р{х, ¦( х₁,...,х_n)} для нового n - местного функционального символа ¦ в тех случаях, когда формула $рх является теоремой. Здесь переменные х, х₁,...,х_n попарно различны, а р не имеет свободное вхождение переменных, отличных от х, х₁,...,х_n.

 

Теорема об определениях: если теория Т₂ получена из теории Т₁ путем добавления определяющей аксиомы для нового функционального или предикатного символа v то для каждой теоремы теории Т₂ существует равносильная ей теорема теории Т₁.

 

9. Кроме девяти основных применяются дополнительные правила вывода, например правило отделения конъюнкта D pÙg, р и правило присоединения дизъюнкта Dр, pÚg.

10. Применяются известные методы доказательства. Обоснование таких методов дается в учебниках логики. Например метод доказательства от противного основан на следующей теореме.

 

Теорема о доказательстве методом от противного: если формальная теория Т₂ получена путем добавления аксиомы Øр к аксиомам теории Т₁ и если формулы q, Øq являются теоремами теории Т₂, то формула р является теоремой теории Т₁.

 

Формальная арифметика формализует систему знаний о целых неотрицательных числах, использует в качестве исходных четыре функциональных и два предикатных знака

 

¦	¦	¦	¦	g	g
0	1	+	×	=	<

 

интерпретируемых в соответствии с их известными со школы специальными начертаниями, имеет такие аксиомы

Ø1=0

х + 1= y + Þ x = y

x + 0 = x

x + (y + 1) = (x + y) + 1

x×0 = 0

x×(y + 1) = x×y + x

Øx < 0

x < y + 1 Û x < y Ú x = y

p íx, 0ýÚ"(pÞíx, x + 1ý)Þ p

 

Здесь при записи аксиом использованы ранее перечисленные соглашения о компактизации изложения и известное соглашение о том, что знак умножения связывает сильнее знака сложения. Если такие соглашения не принимать, то к примеру первую аксиому следовало бы записать в виде Ø(g (¦ ,¦ )).

 

Пример определяющих аксиом для новых нульместных функциональных знаков 2, 3, 4, 5 и новых двухместных предикатных знаков >, £ ,³ ,¹ :

 

2 = 1 + 1	c1>c2  Û c2<c1
3 = 2 + 1	c1£c2 Û c1 < c2 Ú c1 = c2
4 = 3 + 1	c1³c2 Û c1 > c2 Ú c1 = c2
5 = 4 + 1	c1¹c2 Û Øc1 = c2

 

Заметим, что знак < можно было бы не включать в перечень исходных знаков формальной арифметики, а ввести его с помощью определяющей аксиомы                            c₁<c₂  Û $c₃(Øc₃ = 0 Ù c₁+ c₃ = c₂).

Пример доказательного текста в формальной арифметике (k = 3, е = 6, m = 1, n = 3):

1	¦  ----------------------------------------------	Константа
2	¦ -----------------------------------	Константа
3	c1 --------------------------------------------------	Переменная
4	g (¦ , ¦ )---------------------------------------	Предикат от 2,1
5	Ø(g (¦ , ¦ ))-----------------------------------	Отрицание 4
6	g (c1, ¦ )----------------------------------------	Предикат от 3,1
7	Ø(g (c1, ¦ ))-----------------------------------	Отрицание 6
8	$c1(g (c1, ¦ )))--------------------------------	Подтверждение 7 по c1
9	(Ø(g (¦ , ¦ )))Þ$c1(Ø(g (c1, ¦ ))))----	Импликация 5,8
10	Ø(g (¦ , ¦ ))-----------------------------------	5: аксиома
11	(Ø( g (¦ ,¦ )))Þ$c1(Ø(g (c1,¦ ))))----	9: пр. подт. 7, c1, 2
12	Ø(g (¦ , ¦ ))-----------------------------------	5: аксиома 10
13	$c1(Ø( g (c1, ¦ )))----------------------------	8: пр. отделения для 12, 11

 

Компактизированный текст:

 

11	Ø1 = 0 Þ$c1Øc1 = 0-------------------------	Правило подтверждения
12	Ø1 = 0--------------------------------------------	Аксиома
13	$c1Øc1 = 0--------------------------------------	Правило отд. для 12, 11

 

Словесный вариант: «Если единица не равна нулю, то тем самым существует не равное нулю число. Но единица не равна нулю. Следовательно, существует число, не равное нулю».

 

Тема 7. Множества и функции.

В этой теме A, B, C, D, E, F, G, X, Y, Z, X₁, Z₁,…, X_n, Y_n, Z_n обозначают попарно различные переменные. Множество – это совокупность различных объектов, мыслимая как единый новый объект. Различные объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Соотношение xÎA означает, что объект х есть элемент множества A. Отрицание соотношения xÎA записывается в виде xÏA. Соотношение АÌВ означает, что А есть подмножество множества В, т.е. что каждый элемент множества А является элементом множества В. Отрицание соотношения АÌВ записывается в виде АËВ. Множество, элементами которого являются все те и только те объекты вида а, для которых истинно соотношение p, обозначается через {a|p}. Множество {x|"A(xÏA)} называется пустым множеством и обозначается символом Ø. Множество {x|x = x₁Ú…Úx = x_n} обозначается через {x₁,…,x_n}. Множество {x|xÎAÚxÎB} называется объединением множеств А, В и обозначается через АÈВ. Множество {x|xÎAÙxÎB} называется пересечением множеств А, В и обозначается через АÇВ. Множество {x|xÎAÙxÏB} называется дополнением множества В относительно А или результатом удаления из множества А элементов множества В и обозначается через А\В.

Простейшие теоремы : 3Ï{9, 7, 3}, {x+5|x² = 4} = {3, 7], AÏA, AÌA, …

Обозначения  для некоторых множеств:

N - множество натуральных чисел

Z - множество целых чисел

R - множество действительных чисел

Упорядоченная n-ка объектов x₁,…,x_n обозначается через (x₁,…,x_n) и определяется так: (x₁) = x₁

(x₁, x₂) = {{x₁}, { x₁, x₂}}

(x₁, x_2, x₃) = ((x₁, x₂), x₃)

(x₁, x_2, x₃,x₄) = ((x₁, x₂, x₃), x₄)

………………………………..

Упорядоченная n-ка называется еще n-мерным упорядоченным набором, вектором, точкой, кортежем. Объект x₁ называется k-той компонентой или координатой n-мерного набора (x₁,…,x_n) и обозначается через koor (x₁,…,x_n). Множество {x₁,…,x_n| x₁Îz₁Ù…Ù x_nÎz_n} называется декартовым произведением множеств z₁,…,z_n и обозначается через z₁´…´z_n. Если А - множество упорядоченных n-ок, то множество {x_k|(x₁,…,x_nÎA} называется k-той проекцией n-мерного множества А и обозначается через π А. Через Аⁿ обозначается множество А´…´А (n множителей). Соглашение: знаки ´, Ç, связывают сильнее чем È, \.

Простейшие теоремы: (x₁,…,x_n) = (y₁,…,y_n)Û x₁= y₁Ù…Ù x_n= y_n, (9, 9, 9)¹ (9, 9), p (A´B´C´D´E) = C, {5. 7}² = {(5, 5), (5, 7), (7, 5), (7, 7)}, koor (5, 7, 9) = 9, koor (5, 7, 9) = koor (5, 7, 9) = koor (5, 7, 9) = H, {7}´{8, 5}´{9} = {(7, 8, 9), (7, 5,9)}. {4}⁵ = {(4, 4, 4, 4, 4)}, p {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 4)} = {2, 3}. A´B´C = (A´B)´C.

Функцией называется множество, любой элемент которого есть упорядоченная двойка. Множество π F называется областью определения или доменом функции F и обозначается dom F. Множество π F называется областью значений или ранжиром функции F и обозначается ran F. Если (x,y)ÎF, то y называется значением функции F в x и обозначается F(x). Если АÌ domF, то множество {y|$ÎAÙ(x, y)ÎF)} называется образом множества А относительно функции F и обозначается F[А]. Функция F в случае dom F = A и ran FÌB / ranF=B называется еще отображением множества А в/на множество В. Запись F:А®В означает что F есть отображение множества А в множество В. Функция F называется сужением функции G (на множество dom F), а функция G называется расширением функции F (на множество dom G), если F есть результат удаления из G всех тех (x, y), для которых xÏ dom F. Если F есть функция, то {(y, x)ï (x, y)ÎF} тоже есть функция, называемая обратной по отношению к F. Очевидно, что если функция G является обратной по отношению к функции F, то F является обратной по отношению к G. Если dom F есть множество упорядоченных n-ок, то функция F называется n-аргументной и вместо F((x₁,…,x_n)) используют более короткое обозначение F(x₁,…,x_n). Функция F называется однозначной, если из (x, y)ÎF и      (x, z)ÎF следует y=z. Функция называется взаимно однозначной или биективной, если она сама и обратная к ней функция являются однозначными. Последовательностью называется однозначная функция F т.ч. dom F = N. Если F есть последовательность и nÎN, то F(n) называется n-м членом последовательности и обычно обозначается через F_n.

Множество А называется бесконечным, если существует биективное отображение множества N в множество А. Множество называется конечным, если оно не является бесконечным.

Простейшие теоремы: cos(0)=1, cos[{0}] = {1}, Аrccos и cos обратны друг к другу, функция arccos не является обратной к cos и является обратной к сужению функции cos на множество ran arccos.

ЗАДАЧНИК-МИНИМУМ ПО ЛОГИКЕ

 

В квадратных скобках дается ответ к задаче, Д означает ДА, Н означает НЕТ, все высказывания о числах в задачах 1.1 – 6.4 являются арифметическими, т.е. высказываниями о целых неотрицательных числах.

1.1 Указать истинное значение для высказываний 5=5, 5¹5, 5>5, 5£5, 5³5, 5<5, Х<0, Х+2<5, Х+Х<6, Х-Х=0, Х³0, X+Z=Z+X [ИЛЛИИЛЛППИИИ] и для каждых двух соседних высказываний выяснить, являются ли они равносильными [НДНДНДНДНДД].

1.2 Для каждой из трех последовательностей 2, 3; 3, 2, 4, 5; 3, 2, 3, 6 выяснить, является ли она индуктивной относительно набора правил D3; DХ, Х-1; DХ,Z,X+[НДД].

1.3 Выяснить, являются ли Dа<b, a<b+3; Da³b, b³0, a³0 правилами вывода [ДД].

2.1 Для каждого из пяти знакосочетаний ØÚ; ¦ g $; f  f  f ; c₄c₈ f  g ; "$ØÙÚÞÛ выяснить следуют ли в нем его знаки в алфавитном порядке [ДНДНД].

2.2 Для терма f (f (c₁), f _, f (f _, c_1, f (f ))) составить индуктивную последовательность термов [f _, c_1, f (f ), f (f , c_1, f (f ) f (f (c₁), f _, f (f _, c_1, f (f )))].

2.3 Пусть p, q, r обозначают нульместные предикаты. Для высказывания pÚØqÙrÞpÞqÞr составить индуктивную последовательность высказываний [p, q, r, Ø(q), (Ø(q)Ù(r), (p)Ú((Ø(q))Ù(r)), (q)Þ(r), (p)Þ((q)Þ(r)), ((p)Ú((Ø(q))Ù(r)))Þ((p)Þ((q)Þ(r)))].

2.4 Для высказывания $c₅g (c₁, f (c₂), c₁) составить индуктивную последовательность термов и высказываний [c₁, c₂, f (c₂), g (c₁, f (c₂), c₁), $c₅ (g (c₁, f (c₂), c₁))].

2.5 Для каждого из семи обозначений а: f (a), g (a), g (a, b); Z; $Xg (X, X, Z); "Xf (X, X) выяснить, обозначает ли оно: Терм, Высказывание, Ни-то-ни-другое [TTBHTBH].

2.6 Для каждой из шести скобочных диад в высказывании ((p)Þ(q))Þ((r)Þ(s)) выяснить можно ли ее отбросить без нарушения смысла данного высказывания [HДДДДД].

2.7 В высказывании pÛqÚØrÙØp восстановить все скобки [(p)Û((q)Ú((Ø(r))Ù(Ø(p))))].

2.8 В высказываниях pÚØqÙrÞpÙrÚØp, pÚØqÙ(rÞpÙr)ÚØp восстановить все скобки с помощью нумерации логических знаков и скобок в порядке их восстановления.

é((p)Ú((ù(q))Ù(r)))Þ(((p)Ù(r))Ú(ù(p))), (p)Ú(((ù(q))Ù((r)Þ((p)Ù(r)))Ú(ù(p)))ù

ë76p666422q2444r4677753p333r355511p1577p77776544q45552r2221p111r12566633p367û

2.9 Пусть p обозначает высказывание ("c₁$c₂g (c_2, f (c₁, c₂)))Ùg (f , f  (c₂))Þg Úg (c₁). Индукцией по построению высказывания определить его истинностное значение на универсуме при такой интерпретации функциональных и предикатных знаков.

 

f	g		X	f (X)	g (X)		X	Y	f (X, Y)	g (X, Y)
3	И		3	4	Л		3	3	3	И
			4	3	И		3	4	4	И
							4	3	4	И
							4	4	4	Л

 

Ответ:

c2	p
3	Л
4	И

 

2.10 Указать истинностные значения высказываний 2<2ÞХ>3, Х<3+4ÛХ<9, 7<Х<9ÞХ=8, Х£3ÚХ>3, "Х(Х>3)Þ5=3, $c₁"c₂(c₂<c₁), "c₂$c₁ (c₂<c₁) [ИПИИИЛИ].

2.11 Для каждого из правил Dp, q, r, pÙqÙr; Dp, pÞp; DpÞp, p ; DpÚq, Øp, q; DØØØØp, p; Dp, $XP; D$XP, P; DP, "XP; D"XP; P выяснить является ли оно правилом вывода [ДДНДДДНДД].

2.12 Для каждого из высказываний g (a), "X g (X,C), $X(g Þ g ), $Xg Þ g , g , Ø g , g Û g , g  выяснить, является ли оно: предикатом [ДНННДННД], элементарным высказыванием [ДДДНДННД].

2.13 Для высказывания "X(g Þ g (X))Úg  записать: все его компоненты [g , g (X), g Þg (X), "X(g Þg (X)), "X(g Þ g (X))Úg ], все его элементарные компоненты , все его пропозициональные компоненты [g , "X(g Þg (X))], все его предикатные компоненты [g , g (X)].

2.14 Записать все пропозициональные компоненты высказываний $XPÙ$ZP, $XPÙØ$ZP. [$XP, $ZP – если X, Z различные переменные, $c_nP – если X, Z обозначают одну и ту же переменную c_n].

3.1 Вычислить:

ИÚØЛÞИÞЛÙИÛИÛЛÚИÚЛÚØИÞЛÙИÙЛÙØИÙØЛÙИÙЛÙØИÙИÙЛ

[И].

3.2 Выяснить, является ли высказывание ØpÙqÙ(rÞs)Û(pÚØqÚrÙØs) тавтологией [Д].

3.3 Пусть p, q, r – различные элементы высказывания. Для каждого из высказываний pÞØrÚqÚp, pÞØr, rÞØpÚq выяснить, является ли оно тавтологией [ДНН] и является ли оно тавтологическим следствием двух других [ДНД].

3.4 Решить истинностное уравнение (pÞq)ÞØqÞp= Л с двумя неизвестными p, q [Л, Л].

 3.5 Из p, q, r составить высказывание, истинное только при p=q=r

[(pÛq) Ù(qÛr)].

 

4.1 Пусть Р обозначает g (x). Для каждого из высказываний pÞ$XP, $XPÞ P, $XPÞØP выяснить является ли оно кванторологически истинным [ДНН] и является ли оно кванторологическим следствием двух других [ДДН].

4.2 Для каждого вхождения переменной в высказывание из задачи 2.9 выяснить, является ли оно свободным или связанным [связанное, связанное, связанное, связанное, свободное, свободное].

 

4.3 Записать обозначенное через "c₃g (c_3, c₄) íc₄,¦ (c₃)ý высказывание ["c₃g (c_3, ¦ (c₃))].

4.4 Пусть P обозначает высказывание $c₃g (c_6, c₃)Ú "c₆g (c_6, c₃) Ú g (c_6, c₄).

Указать высказывания с обозначениями P íc₃, c₆ý, P íc₃, ¦ (c₅)ý, P íc₃, c₃ý . [$c₃g (c_6, c₃)Ú "c₆g (c_6, c₆) Ù g (c_6, c₆), $c₃g (c_3, c₃)Ú "c₆g (c_6, c₃) Ù g (c_3, c₃), P, P].

 

4.5 Для каждого из терминов ¦ (c₁), ¦ (c₂), ¦ (c₈), ¦ (c₁, c₅, c₈), ¦  выяснить, является ли он допустимым заменителем для c₈ в высказывании $c₂g (c₈)Ú "c₅g (c₈) [ДНДНД].

 

4.6 Для каждого из высказываний [$c₁g (c₁), "c₂g (c_2, c₃), g (c_1, c_2, c₃), g (¦ ) выяснить, является ли оно замкнутым [ДННД] и является ли оно открытым [ННДД].

 

4.7 Высказывание Ø"C$Z(C£ZÛZ¹0ÙØ$C(C>Z))Þ$C"Z(C³Z) привести к позитивной форме

[$C"Z(C>ZÙZ¹0Ù"C(C£Z)ÚC£ZÙ(Z=0Ú$C(C>Z)))Þ"C$Z(C<Z)].

 

4.8 В высказывании $c₃g (c₃, c₅)ÚØ" c₅g (c₃, c₅) Þ g Ûg (¦ , c₅) второе вхождение высказывания g (c₃, c₅) заменить высказыванием Ø g (c₃, c₅) Þ g (c₃, c₅). [$c₃g (c₃, c₅)ÚØ" c₅(Ø g (c₃, c₅) Þ g (c₃, c₅) Þ g Ûg (¦ , c₅) и выяснить, равносилен ли результат замены исходному высказыванию [Д].

 

5.1 Для каждого из высказываний g (¦ , ¦ ), $c₁g (c₁, c₂), g (¦ , ¦ )Ùg (¦ , ¦ ) выяснить, является ли оно логически истинным [НДН] и является ли оно логическим следствием остальных [ДДН].

 

5.2 Указать высказывания p, q т.ч. p½=q, но pÞq не есть логически истинное высказывание [c₁= c₂, c₁= c₃].

 

6.1 Выяснить, является ли последовательность высказываний P, PÞ$CR, $CR, PÞ$CRÞR, $CRÞR, $CRÞ"CR, "CR, R=QÞRÙQ, Q, RÙQ доказательством в теории с аксиомами R,Q [Д].

 

6.2 Для каждого из высказываний 3<5, 5=5, Х<6Þ$C(C<6), 5<6Þ5<6 выяснить, является ли оно: истинным [ДДДД], логически истинным [НДДД], кванторологически истинным [ННДД], тавтологически истинным [НННД].

 

6.3 Для каждого из высказываний g (c₁, c₂), $c₁g (c₁), g (c₁) выяснить, является ли оно из двух других: логическим следствием [НДД], кванторологическим следствием [НДН], тавтологическим следствием [ННН].

 

6.4 Записать определяющие аксиомы в формальной арифметике для термов ½c₁- c₂½,6. [c₁+½c₁- c₂½=c_2Úc₂+½c₁- c₂½=c₁, 6=(((((1)+(1))+(1))+(1))+(1)] и для высказываний: c₁ есть четное число, c₁, есть простое число, c₁, есть делитель числа c₂. [$c₃=c₃ + c₃), Ø$c₃$c₄(c₃×c₄ Ùc₃<c₁Ùc₄<c₁) Ù1<c, Øc₁₌0Ù$c₃(c₂=(c₁×c₃)].

 

7.1 Пусть A, D, C, D, E, F, G, X, Y, Z, X₁,..., X_n обозначают попарно различные переменные. Указать истинное значение каждого из высказываний 5Î{3,5}, 3Ï{3,5}, 4Ï{3,5}, {3,5}¹{5,3}, {3,5}={3,3,5}, {2,8}Ì{2,9,8}, {2,9,8}Ì{2,8}, 4Î{4}, 4Ì{4}, {4}Î4, 4¹4, {4}Ì{4}, {4}¹4, {6}Ï{2,6}, {2Х½Х=3ÚХ=4}={6,8}, {Х½Х¹Х}=Æ, {4,3}È{3,7}={4,3,7}, {4,3}Ç{3,7}={3}, {4,3}\{3,7}={4}, {3,5}È{5,3}¹{3,5}, A=BÛ"C(CÎAÛCÎB), CÏAÛØCÎA, AÎA, CÎÆ, AÌBÛ"C(XÎAÞCÎB), AËBÛØAÌB, AÌBÙBÌCÞAÌC, AËA, ÆËA, AÌAÈB, AÈBÌA, AÇBÌA, AÌAÇB, AÈƹA, AÇƹÆ, (AÈB)ÈC=AÈ(BÈC), AÈB¹AÈB, AÇB=BÇA, AÈA¹A, A¹BÛ$C(CÎAÙCÎBÚCÏAÙCÎB), AËBÛ$C(CÎAÙCÏB), (AÈB)\B=A, (A\B)\B=A\B, A\B=A(AÈB), A\(AÇB=A\B, A\B=B\A, AÇA¹A, AÌBÛAÈB=B, CÎ{C₁,...,C_n}ÛC=C₁Ú...ÚC=C_n, CÎAÈBÛCÎAÚBÎB, CÎAÇBÛCÎAÙBÎB, AÌBÞBÌA, A\A¹Æ, A\ƹA, AÌA, NÌZ, ZÌR, ZËN, RËZ, (2,2)=(2,2,2), (3,5)=(3,2+3), (3,5)=(5,3), {3,5}={5,3}, (4,8) ¹(8,4), (A,B)=(C,D)ÛA=CÙB=D, koor (8,5,4)=5, koor (8,5,4)=4, koor (8,5,4)=(8,5), koor (8,5,4)=8, (X,Z) ¹(Z,X), (X,Z) ¹(Z,X) ÛX¹Z, koor (a, b), koor (a, b)=(a, b), (a, b)=(b, a), (a, a)=a, {4,6}х{7,9}={4,7), (4,9), (6,7), (6,9)}, {5} х {3,2} х {6}={(5,3,6), (5,2,6)}, {5} х {6}={6} х {5}, A х B=B х A, A х B¹B х A, A х (B х C)=(A х B) х C, (A х B) х C=A х B х C, A¹=A, A²=A х A, A³=A х A х A,

{8,5}²={(8,8), (8,5), (5,5)}, {6}⁴={(6,6,6,6)}, p (A*D*C*D*E)=B, p ({a, b)}¹b, p {(3,7), (3,8), (3,9), (4,9)}={3,4}, p {(3,7), (3,8), (3,9), (4,9)}= {7,8,9}, p {(6,7,8,9)}=8, dom {(3,6), (6,4)}= {3,6,4}, dom {(3,6), (6,4)}= {3,6}, ran {(3,6), (6,4)}= {6,4}, ran {(3,6)} ¹6, {5,4,8} есть область определения функции {(5,5), (8,0). (4,)0}, есть образ множества {3} относительно функции {(3,7)}, dom sin =R, ran sin={X½RÎÙ½C½£1}, dom sin =dom tg, dom Arcsin=ransin, dom arcsin=R, ran arcsin=R,, функция sin биективна, cos(0)=1, функция sin и arcsin обратны друг другу, функция sin однозначна, функция arcsin однозначна, функция arcsin биективна, {(5,9), (5,8) (2,9)} есть расширение функции {(2,9)}, arcsin есть сужение функции Аrcsin, {(4,5), (5,8)} есть сужение функции {(4,7), (5,9) (5,8)}, функция {(4,4), (5,5)} биективна, функция sin È cos является многозначной. [1010110100011011111011001110101П1П00101011П1П1П0111111П00111110101111111П11П0110ПП011111110111011010110101011010110011]

Для A=BÞ"C(ÎAÞCÎB) построить доказательство [(X=CÙA=BÞCÎAÞCÎB)Þ(C=CÞA=BÞCÎACÎB),C=CÙA=BÞCÎAÞCÎB,C=CÞA=BÞCÎAÞCÎB,C=C,A=BÞCÎAÞCÎB,A=BÞ"C(CÎAÞCÎB)]

 

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 331; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!