Властивості нескінченно малих
1. Функцію можна подати у вигляді , де – стале число; — нескінченно мала при , тоді і тільки тоді, коли .
2. Якщо , то .
3. Алгебраїчна сума довільного скінченого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала (у самому граничному переході).
4. Добуток нескінченно малої на обмежену функцію є величина нескінченно мала.
5. Добуток скінченого числа нескінченно малих є величина нескінченно мала.
6. Добуток нескінченно малої на постійну є величина нескінченно мала.
7. Частка від ділення нескінченно малої при на функцію, границя якої відмінна від нуля, тобто , є величина нескінченно мала.
При обчисленні границь необхідно знати такі теореми:
1.
2.
3. Якщо і існують, то
4. Для всіх основних елементарних функцій у довільній точці їх визначення справедлива рівність
5. Якщо то
якщо то
6. Якщо то
7. Якщо
то
8. Якщо при , то
9. Якщо при , то
10. Якщо змінна величина зростаюча при і обмежена при , то вона має границю .
Порівняння двох нескінченно малих функцій одного й того самого аргументу х при характеризується наступними означеннями й теоремами.
Нескінченно малі функції і називаються нескінченно малими одного порядку при , якщо дорівнює кінцевому числу .
Якщо , то називається нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з .
Якщо , то і називаються еквівалентними нескінченно малими, й пишуть .
|
|
Якщо то називається нескін-ченно малою порядку Р у порівнянні з нескінченно малою .
Теореми про еквівалентні нескінчено малі
1. Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо ці нескінченно малі замінити величинами, їм екві-валентними.
2. Щоб дві нескінченно малі функції були еквівалентними, необхідно й достатньо, щоб їх різниця була нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з кожною з них.
Якщо при , то справедливі такі еквівалентності:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
При обчисленні границь найчастіше використовують деякі важливі формули:
— перша важлива границя;
; — друга важлива границя,
де е — ірраціональне число, е = 2,718281...
Наслідки з важливих границь
1. 2.
3. 4.
5. 6.
Розкриття невизначеностей
Обчислення границь зводиться до підстановки в даний вираз граничного значення аргументу. Якщо при цьому одержуємо неви-значені вирази вигляду то знаходження границь у цих випадках називається розкриттям невизначеності.
Для розкриття невизначеності, перш ніж перейти до границі, необхідно перетворити даний вираз.
Невизначеність виду
|
|
Щоб розкрити невизначеність виду , треба чисельник та знаменник дробу поділити почленно на найвищий степінь змінної.
Приклад 1. Знайти границю:
а) .
б) .
в) .
г)
Невизначеність виду
Якщо чисельник та знаменник дробу поліном, що перетворюється в нуль при , для розкриття невизначеності чисельник та знаменник треба поділити на .
Приклад 3. Обчислити:
а) .
б)
Приклад 4. Знайти границі:
Розв’язання. Безпосередня підстановка числа під знак границі приводить до невизначеності 0/0. Перетворимо вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники і скоротивши на :
Невизначеність виду
Невизначеність виду перетвореннями приводиться до виду та .
Приклад 5.
а)
б)
Невизначеність виду
Невизначеність виду розкривається за допомогою другої стандартної границі.
Приклад 6.
а)
б)
в)
Приклади обчислення границь за допомогою еквівалентних нескінченно малих:
а) .
б) .
.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 197; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!