Теоретические аспекты математических основ моделирования, математическое моделирование, как научная методология решения проблемы
Выше уже упоминалось о том, что математическая модель является не самоцелью, а только средством для решения определенной проблемы. В связи с этим необходимость создания математической модели вытекает из выбираемой исследователем методологии решения проблемы. Для решения сложных проблем обычно применяют так называемый системный поход, в котором моделирование является основным методом исследования. В целом системный подход предполагает следующие этапы решения проблемы [29,67]:
* изучение предметной области (обследование),
* выявление и формулирование проблемы,
* математическая (формальная) постановка проблемы,
* натурное и/или математическое моделирование исследуемых объектов и процессов,
* статистическая обработка результатов моделирования,
* формулирование альтернативных решений,
* оценка альтернативных решений,
* формулирование выводов и предложений по решению проблемы.
В общем случае процесс исследования можно представить в виде следующей формальной системы:
(3.1)
Здесь X(t) - множество значений входных факторов в момент времени t, О(t) - множество значений параметров, характеризующих различные внутренние состояния сложной системы в этот же момент времени, Y(t) и Y(t-1) - множества значений измеряемых показателей изучаемых свойств системы в обозначенные моменты времени. Первые два уравнения моделируют суть изучаемого процесса, а третье уравнение является математическим описанием (моделью) процесса воздействий исследователя на изучаемую систему. Исследователю, как правило, доступно только определенное подмножество Y’(t) наблюдаемых параметров и весьма ограниченное подмножество X’(t) управляемых факторов. Его представление о внутренних состояниях исследуемой системы также ограничено некоторым подмножеством. Поэтому в представлении исследователя математическая модель исследуемой им системы имеет вид:
|
|
|
(3.2)
В целом формализованная схема процесса исследования сложной системы показана на рис. 3.
Рис. 3. Схема обобщенной математической модели процесса
Таким образом, необходимость математического моделирования является основой системного подходак решению сложных проблем. Разработка математических моделей представляет собой сложную исследовательскую задачу, процесс решение которой состоит из следующих этапов:
* концептуальное проектирование,
* эскизное проектирование,
* техническое проектирование,
* рабочее проектирование,
* постановка и проведение модельного эксперимента,
* статистическая обработка результатов моделирования,
* формирование альтернативных решений исследуемой проблемы.
|
|
|
В зависимости от изучаемой предметной области, от решаемой проблемы, от математической подготовки исследователя и требований заказчика математические модели могут иметь различные формы и способы представления. В простейшем случае модель может представлять собой однофакторнуюлинейную или нелинейную функцию с постоянными числовыми коэффициентами (параметрами модели, отражающими внутренне состояние изучаемой системы). В этом случае показатель эффективности системы y’(t) является однозначной неслучайной функцией от определенного фактора x’(t). Примеромтакой модели является уже знакомая нам математическая модель электрического контура (рис 3). В данной модели исследуемым показателем является напряжение uc на пластинах конденсатора C, а переменным внешним фактором - фактор времени t. Внутреннее состояние данного контура характеризуется значениями его параметров R, C и E. При этом изменение изучаемого показателя uc(t) характеризуется дифференциальным уравнением: duc(t)/d(t) = (uc(t) - E )/ RC. Эксперимент с данной математической моделью сводится к решению данного дифференциального уравнения и к формулированию выводов о характере полученного решения. Для решения этой задачи применяется, как известно, метод наименьших квадратов. Классическим примером математической модели процессов такого типа является модель траектории полета космического аппарата, параметры которой уточняются по траекторным измерениям со станции наблюдения. Еще более сложным классом систем с точки зрения теории математического моделирования являются, так называемые, системы массового обслуживания. К ним относятся любые системы, в которых существует один или несколько потоков материальных или информационных объектов, которые обрабатываются определенным способом. Реальными системами массового обслуживания являются, например: телефонные станции, билетные кассы, информационно-вычислительные системы, автозаправочные станции и им подобные. К системам массового обслуживания космических средств относятся центры и пункты управления космическими аппаратами, системы сбора и передачи данных, стартовые комплексы и много других технических и организационных систем. При исследовании и моделировании систем массового обслуживания в качестве основных параметров, характеризующих функционирование этих систем, обычно рассматривают временные показатели: время наступления некоторого события - ti, интервалы времени между событиями - li, интенсивность событий - mi и соответствующие этим величинам распределения вероятностей*. Показателями эффективности функционирования систем массового обслуживания обычно являются:
|
|
|
|
|
|
1. для систем c отказами - среднее число отказов R(t0, t) за время (t0, t0 + t), вероятность P(t0, t) того, что за определенное время (t0, t0 + t) в системе не будет ни одного отказа,
2. для систем с ожиданиями обслуживания показателями эффективности также являются - среднее время ожидания заявки в очереди, среднее количество заявок в очереди, среднее время обслуживания одной заявки и тому подобные величины.
Способы математического моделирования систем массового обслуживания в настоящее время достаточно хорошо изучены и часто применяются на практике. Имеются аналитические формулы для оценки эффективности обслуживания в системах с простейшими (Пуассоновскими) потоками заявок. Они названы по имени их автора формулами Эрланга. Наконец, еще более сложными для исследования являются системы, функционирование которых представляет собой неоднородные разветвляющиеся процессы. К таким систем относятся, например: универсальные ЭВМ, центры и пункты управления различного назначения, сложные технические комплексы, в том числе и ракетно-космические. Эти системы имеют сложную внутреннюю структуру, состоящую из элементов (подсистем), выполняющих различные функции, подчиненные некоторой единой цели (целевой функции). Математическая модель сложной системы состоит из математических моделей ее подсистем и математической модели процесса взаимодействия между ними. Цели и задачи сложной системы достигаются в результате выполнения определенной композиции, состоящей из множества целевых функций ее подсистем, то есть:
F(S) = Ф[F1(S1), F2(S2), . . ., Fn(Sn)], (3.6)
где S - сложная система, S1, ..., Sn - ее подсистемы, F1, ..., Fn - цели функционирования соответствующих подсистем, Ф - математическое (формальное) описание закономерных связей между перечисленными целями.
Предполагается, что:
1. подсистема Si сложной системы, как и вся система S в целом, функционирует во времени, и в каждый момент времени t она находится в одном из возможных состояний Si(t);
2. с течением времени подсистема и система в целом под воздействием внешних и внутренних факторов переходят из одного состояния в другое;
3. в процессе функционирования системы (или подсистемы) она взаимодействует с внешней средой и другими системами, получая от них входной поток X(t) и выдавая выходной поток Y(t) событий, энергетических или материальных объектов.
Эффективность функционирования системы S, как правило, оценивается условной вероятностью достижения цели F(S) к заданному моменту времени. Целью функционирования системы S обычно является достижение определенного результата: обслуживание заданного количества заявок, поражение заданных объектов, решение заданных задач, производство определенного продукта и так далее. Существует несколько способов математической формализации таких процессов. К ним относятся: Марковские процессы, сети Петри, семантические сети, конечные автоматы и алгоритмы. Перечисленные математические формализмы хорошо изучены и достаточно полно изложены в литературе. Построение математических моделей сложных систем на основе типовых алгоритмических процессов является новым, мало известным, но весьма эффективным методом математического моделирования. Поэтому в дальнейшем основное внимание будет уделено этому методу. Описание алгоритмического процесса (3.6) позволяет воспроизвести этот процесс на ЭВМ с имитацией наиболее существенных событий, происходящих в системе. Замечательно то, что имитация может быть проведена в любом масштабе времени и с различными законами распределения. Порядок проведения эксперимента, перечень входных факторов, измеряемых величин и порядок обработки результатов моделирования определяется на этапе планирования модельного эксперимента. В результате модельного эксперимента получают оценки нескольких альтернативных вариантов решения исследуемой проблемы, или же получают единственное оптимальное решение проблемы, если оно существует. Окончательное решение, как правило, предоставляется уполномоченному лицу.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 144; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!