Задачи на проценты и пропорции

Государственное учреждение образования

«Средняя школа №13 г. Жлобина»

Учебно-исследовательская работа

«Графический метод решения текстовых задач»

Подготовили

Ганжурова Виктория, 9 «Г» класс,

Тозик Александра, 9 «Г» класс,

Руководитель – учитель математики

Задорожная Тамара Ивановна

Жлобин, 2018

Содержание

Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи. (Д. Пойа)

ВВЕДЕНИЕ

Графики в нашей жизни играют значительную роль. По графикам решают уравнения и находят объемы тел, рассчитывают конструкторские и решают экономические задачи, вычисляют данные для запуска ракет и исследуют реальные процессы. Но, несмотря на практическое значение графиков, в школьной математике графики играют в основном вспомогательную роль и служат обычно для иллюстрации и лучшего запоминания свойств изучаемых функций. Поэтому и отношение к графикам у учеников очень легкомысленное.

По данным проведённого нами опроса среди учащийся 9-ых классов, мы выяснили, что большая часть опрошенных ничего не знают об графическом методе решения задач.

Цель исследования: исследовать и познакомить учащихся с графическим методом решения текстовых задач.

Задачи: - познакомится с графическим методом решения текстовых задач;

- разобрать примеры задач, которые можно решить этим способом;

- познакомить учащихся с графическим методом;

Задачи на проценты и пропорции, задачи на совместную работу. В этих задачах графики характеризуют не зависимость расстояния от времени, а, например, количество покупаемого товара от величины заработной платы.

Рассматривая графические методы решения текстовых задач, мы хотим прежде всего обратить внимание на то, что:

1. Благодаря своей наглядности, графики позволяют лучше понять решаемую задачу.

2. График дает возможность сразу определить, есть ли у данной задачи решение и единственно ли оно. Если исходная задача может иметь несколько вариантов аналитического решения, то график помогает выбрать нужный вариант.

3. Графики помогают считать, так как заменяют вычисления по сложным формулам простыми действиями с чертежами. Решать задачи по графикам можно быстро и с достаточной для графики точностью.

4. Графики позволяют исследовать изучаемый процесс, подбирать данные и, тем самым, составлять новые интересные задачи

Задача 1

Грибник и рыболов находятся на расстоянии 220 м от охотника. Когда охотник догнал грибника, рыболов отставал от них на 180 м. На каком расстоянии от рыболова был грибник, когда охотник догнал рыболова?

Решим эту задачу тремя способами: арифметическим, алгебраическим и графическим.

Обозначим через v_oр – скорость сближения охотника и рыболова, через v_oг – скорость сближения охотника с грибником. Сначала рассмотрим движение с момента, когда охотник был на расстоянии 220 м от грибника и рыболова. Когда охотник догнал грибника, он преодолел разность расстояния между ними, равную по условию 220 м, а также разность расстояния между ним и рыболовом, обогнав при этом последнего на 180 м.

Таким образом, скорости v_oг соответствует путь равный 220 м., а v_oр – (220+180)=400 м. Таким образом,

Теперь рассмотрим движение с момента встречи охотника и рыболова. Когда охотник догнал грибника, он преодолел разность расстояния между ними, т.е. искомое расстояние, а также обогнал рыболова на 180 м. Таким образом, скорости v_oг соответствует искомый путь, а v_oр – равный 180 м. Таким образом, когда охотник догнал рыболова, рыболов и грибник были на расстоянии

Решение 2(алгебраическое)

Обозначим через v_o, v_г, v_p – скорости охотника, грибника и рыболова соответственно.

Тогда время, за которое охотник догнал грибника, равно . За это время рыболов и грибник прошли соответственно - количество пути, после чего расстояние между ними было , что по условию равно 180 м. Таким образом, имеем уравнение (1)

Рассуждая аналогичным образом, получаем, что расстояние между рыболовом и грибником в момент, когда охотник догнал рыболова, было равно (2)

Из уравнения (1) выразим :

и подставим его значение в выражение (2):

Решение 3 (с помощью графиков)

В прямоугольной системе координат построим графики движений грибника, рыболова и охотника (считаем, что они идут с постоянными скоростями). На чертеже точки пересечений графиков соответствуют встрече объектов в какой-то момент времени. Для любой точки А графика с координатами (x;y), x – это момент времени, в который объект находится на расстоянии y от начальной точки.

В данной задаче за начальную возьмѐм точку, в которой находился охотник, когда был на расстоянии 220 м от рыболова и грибника. Здесь OA=220 м, CD=180 м, BE – искомый отрезок,

обозначим его через x. Рассмотрев две пары подобных треугольников (OAC и EBC, BAE и CAD), получаем уравнения:

Сложим эти уравнения

х=99.

Краткое графическое решение будет иметь следующий вид:

откуда x =99.

Ответ: 99 м.

Задача

Из пункта O в N вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта N в пункт O выехал велосипедист,который встретил пешехода через50мин послесвоего выезда из N. Сколько времени понадобится пешеходу для того, чтобы пройти весь путь, если известно, что велосипедист проделал бы весь путь на 4 часа быстрее пешехода.

Решение

Построим графики зависимости пройденного пешеходом и велосипедистом пути от времени. Пусть p (x) – зависимость пройденного пешеходом пути от времени х, w(x) – зависимость преодоленного велосипедистом пути от времени х. Графиками функций p(x) и w(x) являются прямые, угол наклона которых к положительному направлению оси ОХ зависит от скорости движения, а тангенс этого угла равен скорости движения или другого процесса, заданного условием задачи. Точка пересечения М графиков функций p(x) и w(x) соответствует моменту встречи пешехода и велосипедиста, точка L – прибытию пешехода в пункт N, точка С – прибытию велосипедиста в пункт О. Исходя из этого, время, за которое пешеход пройдет путь ОN равно длине отрезка OD.

Треугольники MBC и MKN подобны, так как MBС = MKN=90 ,

KMN= BMC как вертикальные.Тогда из подобия следует:

(1)

Треугольники MKL и MBO подобны

( KLN= MOB, MBO = MKL=90 ).

Из подобия следует следующееравенство:

(2)

Из равенств (1), (2) получаем:

(3)

Обозначим длину CB через х и найдем длины отрезков NK,OB,CD, KT, KL:

NK =OB=5/6

CD= 4

KT= x

KL=x+4

Подставим эти значения в равенство (3) и решим уравнение относительно х.

Так как OC= (х+5/6)ч – время прохождения пути велосипедистом, то он

преодолел его за 1 час, пешеход проделал весь путь за 1+4= 5(ч).

Ответ: 5 часов.

Задача 2

Из пункта М в N вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта М выехал велосипедист, а еще через 30 мин – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути от М к N. На сколько минут раньше пешехода в пункт N прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт N на 1 ч позже мотоциклиста?

Решение 1

1 ч = 60 мин; 2 ч = 120 мин.

Пусть p(x) – зависимость пройденного пешеходом пути от времени х, w(x) – зависимость преодоленного велосипедистом пути от времени х, m(x) – мотоциклистом. Построим графики этих функций на координатной плоскости.

Треугольники MOB и POL подобны( MOB = POL, OMB= OPL).

(1)

Треугольники BOC и LOW подобны ( BOC= LOW, OBC= OLW). Из подобия следует следующее равенство:

(2)

Из равенств (1), (2) получаем:

(3)

Обозначим длину LP через х и найдем длины отрезков MB, BC, WL:

MB=120

BC=30

WL=60-x.

Подставим эти значения в равенство (3) и решим уравнение относительно х.

Ответ: 48 мин.

Задача 3

Из пункта А в пункт В отправились одновременно пешеход и велосипедист. Велосипедист, доехав до пункта В, повернул обратно и встретил пешехода через 20 мин после отправления из А. Доехав до А, он опять повернул и догнал пешехода через 10 минут после встречи. Через какое время пешеход придет в В?

Решение 1

Пусть p(x) – зависимость пройденного пешеходом пути от времени х, w(x) – велосипедистом. Построим графики этих соответствий на координатной плоскости.

Время, за которое пешеход пройдет путь АВ равно длине отрезка AD. Таким образом, задача сводится к нахождению длины отрезка AD.

По условию АН=20, HR=10, тогда AR=AH+HR=10+20=30.

Рассмотрим треугольники ASH и ATR. Они подобны как прямоугольные треугольники с общим острым углом. Из подобия следует равенство:

(1)

Откуда следует, что (2)

Из подобия треугольников AKS и OTS получим:

(3)

Прямоугольные треугольники LSK и OSH подобны. Из подобия следует равенство: : (4)

Откуда следует, что LH = 3, тогда и PD= 3

Прямоугольные треугольники ALH и APD подобны. Из подобия следует равенство:

(5)

Так как АН=20, то AD=60(мин)

Ответ: 1 ч.

Задача 4

Два пешехода одновременно выходят навстречу друг другу из пунктов А и В и встречаются через полчаса.Продолжая движение,первый прибывает в В на 11 мин раньше, чем второй в А. За какое время преодолел расстояние АВ каждый пешеход?

Решение

Пусть p(x) – зависимость пройденного первым пешеходом пути от времени х, q(x) –вторым пешеходом.Построим графики этих соответствий накоординатной плоскости.

Время, за которое первый пешеход пройдет путь АВ равно длине отрезка AG=BC;а время,затраченное вторы пешеходом на этот же путь равно длинеотрезка AD . Таким образом, задача сводится к нахождению длин отрезков ВС и AD. Обозначим длину отрезкаAEчерезx, AE = x = BF

Треугольники COF и AOE подобны по двум углам. Из подобия следует

следующее равенство:

Треугольники DOE и BOF подобны по двум углам. Из их подобия следует следующее равенство:

Из (1), (2) следует:

30²=x(x+11)

X²+11x-900=0

D=11²+4*900=3721

X_1,2=

X₁=

X_{1= 36}

ВС=30+25=55 (мин); AD=30+25+11=66 (мин).

Ответ: 55 мин, 66 мин.

Задача 5

Два пешехода и лыжник движутся с постоянными скоростями в одном направлении. Когда пешеходы находились в одной точке, лыжник отставал от них на 900 м. Когда лыжник догнал второго пешехода, первый отставал от них на 100 м. Найдите расстояние в метрах между первым и вторым пешеходами в тот момент, когда лыжник и первый пешеход находились в одной точке.

Решение

Пусть p(x) – зависимость пройденного первым пешеходом пути от времени х, q(x) –вторым пешеходом,а w(x) –лыжником.Построим графики этихсоответствий на координатной плоскости.

По условию задачи АО=900 м, BF=100 м, CD= x – искомое расстояние.

Из подобных треугольников АВО и СВD (подобны по двум углам) получаем равенство:

(1)

Треугольники BAF и CAD подобны по углам. Из подобия следует: (2)

Сложив равенства (1) и (2) получим:

9х+х=900

х=90

Ответ: 90 м

Задачи на проценты и пропорции

Задача 1. Заработок рабочего понизился на 20%, а цены на товары выросли в среднем на 25%. На сколько процентов меньше товаров, чем прежде, может теперь купить рабочий? Решение

1. По вертикальной оси будем откладывать зарплату рабочего в процентах от прежней зарплаты (рис.13).

2.По горизонтальной оси мы будем откладывать количество товаров, которое может купить рабочий в процентах к прежнему количеству.

3. Точку, соответствующую 100% товаров и 100% зарплаты, обозначим через С. Соединив точку С началом координат, получим график покупательской способности рабочего. Отметив любую точку графика и спроецировав ее на оси, мы можем узнать, какое количество зарплаты необходимо потратить на приобретение данного количества товаров и наоборот, какое количество товаров можно приобрести за данное количество зарплаты.

4. Зарплата уменьшилась на 20%, поэтому через точку 80% оси зарплаты проведем горизонтальную прямую, устанавливающую новый уровень зарплаты.

5. Цены выросли на 25%. Значит для того, чтобы купить 100% товаров, нужно потратить 125% первоначальной зарплаты. Точка D соответствует этой ситуации. Соединив точку D с началом координат, мы получим график новой пoкупательской способности рабочего. 6. Пересечение этого графика с новым уровнем зарплаты даст точку М. Спроецировав точку М на горизонтальную ось, прочитаем число, равное количеству товаров в процентах, которое можно теперь купить. Это число равно приблизительно 64%. Таким образом, в новой ситуации рабочий может купить только 64% того количества товаров, которое он мог купить прежде. Заметим, что если мы выберем масштаб на горизонтальной оси 1см ↔ 10%, то для нахождения ответа достаточно измерить в миллиметрах расстояние от точки М до вертикальной оси.

Рис.13

Решим теперь эту задачу арифметическим способом.

1. Примем зарплату рабочего за 100 условных единиц, а стоимость товаров за 4 условные единицы.

2. Прежде рабочий мог купить 100 : 4 = 25 единиц товаров.

3. Новый заработок рабочего составляет 80 у.е. зарплаты.

4. Новая цена товара равна 5 у.е. цены.

5. Рабочий может купить теперь 80 : 5 = 16 у.е. товаров.

6. Это количество составляет 16 : 25 ⋅ 100 = 64% от прежнего количества товара, т.е. на 36% меньше. Ответ: рабочий может купить теперь товаров на 36% меньше, чем раньше.

Задача 2. Один сплав содержит металлы в отношении 1 : 5, другой сплав содержит эти же металлы в отношении 5 : 7. В какой пропорции нужно взять первый и второй сплавы, чтобы получить сплав, содержащий те же металлы в отношении 1 : 3?

Решение

1. По вертикальной оси будем откладывать вес сплава в условных единицах (рис.14). По горизонтальной оси будем откладывать вес первого металла в тех же условных единицах. Для удобства масштаб на горизонтальной оси возьмем крупнее, например, в 3 раза.

2. Первый металл в первом сплаве составляет 1/6 часть. Взяв по горизонтали 1 у.е., а по вертикали 6 у.е., получим точку С. Проведем через точку С и начало координат прямую. Эта прямая будет характеризовать первый сплав. Взяв произвольную точку на этой прямой и спроецировав ее на оси, мы определим сколько условных единиц весит весь сплав и сколько условных единиц составляет в нем вес первого металла.

3. Взяв по горизонтали точку 5 и по вертикали точку 12, получим точку D. Соединив ее прямой линией с началом координат, получим график, характеризующий второй сплав.

4. Построив точку с координатами (1, 4) и проведя через нее и начало координат прямую, получим характеристику третьего сплава.

5. Из любой точки вертикальной оси, например, на уровне точки D, проведем горизонтальную прямую, пересекающую характеристики в точках М, N и D. Отношение длины отрезка ND к длине отрезка MN даст пропорцию, в которой нужно взять сплавы I и II соответственно. так как в данном случае отрезок ND в 2 раза больше отрезка MN, то необходимо взять 2 части первого сплава и 1 часть второго сплава.

Подсчитать пропорцию можно, спроецировав отрезки на горизонтальную ось и подсчитав число делений на ней. Можно просто измерить отрезки линейкой.

Замечание 1. Нетрудно убедиться в том, что если прямая, характеризующая третий сплав, не находится на графике между двумя остальными прямыми, то получить этот сплав из первых двух невозможно.

Решим задачу арифметическим способом.

1. В третьем сплаве первый металл составляет 1/4 = 3/12 всего сплава.

2. В первом сплаве первый металл составляет 1/6 = 2/12 части, т.е. меньше на 1/12, чем нужно.

3. Во втором сплаве первый металл составляет 5/12 частей всего сплава, т.е. на 2/12 части больше, чем нужно.

4. Взяв 12 у.е. второго сплава, мы получим первого металла больше на 2 условные единицы, чем нужно. Для того, чтобы компенсировать этот излишек первого металла, мы должны взять 24 у.е. первого сплава, в котором будет недостаток 2 у.е. первого металла. Значит, на каждую часть второго сплава нужно брать две части первого.

Ответ: сплавы необходимо брать в пропорции 2 : 1.

Задача 3. Отец предполагал разделить некоторую сумму денег между сыном и дочерью в отношении 2 : 3, но потом передумал и разделил ее в отношении 7 : 3. В результате сын получил на 15000 рублей больше, чем предполагалось. Какова была сумма и сколько получил каждый?

Решение

Ответ: сплавы необходимо брать в пропорции 2 : 1.

Решение

1. По вертикальной оси будем откладывать общую сумму

денег в тысячах рублей, а по горизонтальной оси будем откладывать количество денег, получаемое сыном. Масштаб по горизонтали для наглядности возьмем в два раза крупнее (рис.15).

2. Зная, что при первом способе раздела сыну полагалось 2/5 всех денег, построим прямую ОС, характеризующую этот способ раздела.

3. При втором способе раздела сын получит 7/10 всех денег. Построим прямую OD, характеризующую второй способ раздела.

4. Сын получил на 15000 рублей больше, чем предполагалось. Отметим на горизонтальной оси точку М, соответствующую этой сумме и проведем через нее прямую MN, параллельную прямой ос до пересечения с прямой OD в некоторой точке N.

5. Спроецировав точку N на вертикальную ось, мы узнаем общую сумму денег. В данном случае она составляет 50000 рублей. Спроецировав точку N на горизонтальную ось, мы найдем долю сына - 35000 рублей.

Значит дочь получит 15000 рублей.

Ответ: общая сумма денег равна 50000 рублей, сын получил 35000 рублей, дочь получила 15000 рублей.

Задача 4. Сплав двух металлов весом 120 грамм при взвешивании в воде

весит 70 грамм. Сколько каждого металла содержится в данном сплаве, если 30 грамм первого металла при взвешивании в воде весят 15 грамм, а 30 грамм второго металла при взвешивании в воде весят 25 грамм?

Решение

1. По вертикальной оси будем откладывать вес металлов на воздухе, а по горизонтальной оси будем откладывать вес металлов в воде (рис.16).

2. Зная, что 30 грамм первого металла весят в воде 15 грамм, построим прямую ОС, характеризующую данный металл. Аналогично строим прямую OD, устанавливающую зависимость между весом второго металла на воздухе и в воде.

3. Через отметку 120 вертикальной оси, соответствующую весу сплава, проводим горизонтальную прямую. Точки ее пересечения с прямыми ОС и OD обозначим соответственно М и N.

4. Через отметку 70 на горизонтальной оси, соответствующую весу сплава в воде, проводим вертикаль до пересечения с отрезком MN в точке К. Если вертикаль не пересекает отрезок MN, то в условии задачи содержится ошибка.

5. Прямая, проведенная через точки О и К, будет давать зависимость между весом имеющегося сплава на воздухе и в воде.

6. Отношение длин отрезков МК : KN дает пропорцию, в которой содержатся в сплаве второй и первый металл соответственно. В данном сплаве

содержится 1 часть второго металла и 3 части первого.

Таким образом, в 120 граммах сплава 30 грамм составляет вес второго металла и 90 грамм составляет вес первого металла.

Заметим, что проведя прямую через отметку 120 на горизонтальной оси и точку N до пересечения с прямой ОС в некоторой точке Р, а затем, проведя прямую через точки Р и К до пересечения с горизонтальной осью, мы можем просто прочитать на горизонтальной оси значение 30 соответствующее количеству второго металла в данном сплаве.

Правильность решения легко установить проверкой по условию задачи.

Ответ: сплав содержит 90 грамм первого металла и 30 грамм второго металла.

Задачи 5. Число коров на одной молочной ферме на 50% меньше, чем на другой, но средний удой каждой коровы на 40% больше. На какой ферме получают молока меньше и на сколько процентов?

Решение

1. По горизонтали оси будем откладывать количество коров в процентах от числа коров второй фермы. По вертикальной оси будем откладывать общее количество надоенного молока в процентах от общего надоя коров второй фермы (рис.17).

2. Соединив точку С (100, 100) с началом координат, мы получим прямую, устанавливающую зависимость общего надоя от количества коров на второй ферме.

3. Так как на первой ферме удой каждой коровы на 40% больше, чем на второй ферме, то, соединив точку D(100, 140) с началом координат, мы получим график зависимости общего надоя от количества коров первой фермы.

4. Так как на первой ферме коров на 50% меньше, чем на второй, то, проведя вертикаль через отметку 50 горизонтальной оси до пересечения с прямой OD в некоторой точке М и спроецировав эту точку на вертикальную ось, мы получим 70%. Это означает, что коровы первой фермы дают всего 70% молока, получаемого на второй ферме.

Таким образом, на первой ферме молока получают на 30% меньше, чем на второй.

Заключение

Графическое представление условия задачи может помочь в решении задач различных уровней сложности. С помощью графиков рационально решаются задачи, в которых описывается некоторый процесс: движении, работа, заполнение зала зрителями, горение свечи и много другое.

Изображая графики процессов, можно находить между величинами, применяя геометрические знания, а можно решать задачу привычным способом.

При решении текстовых задач графическим способом у учеников возникает понимание необходимости аккуратного отношения к построению графиков, появляется умение работать с ними: правильно выбирать масштаб, производить простые геометрические построения.

Мы надеемся, что рассмотренные задачи помогут понять насколько разнообразны, необычны и интересны методы графического решения текстовых задач и привлечь к ним внимании.

Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 345; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!