Постановка задачи для выполнения лабораторной работы.
Лабораторная работа № 1. Определение статистической вероятности наступления равновозможных событий. Цель: изучить методы генерации равновозможных событий и способы вычисления статистической вероятности в ЭТ Excel.
Краткие теоретические сведения.
Опыт (испытание, эксперимент) это некоторая воспроизводимая совокупность условий, в которых наблюдается то или иное явление.
Опыт со случайным исходом – это опыт, результаты которого варьируются при его повторении.
Случайное событие – это всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти.
Достоверное событие - это событие, которое наступает в каждом опыте.
Невозможное событие - это событие, которое не может произойти ни в одном опыте.
События называются равновозможными, если появление одного из них не является объективно более возможным, чем других. На практике события часто считают равновозможными, если нет достаточной информации о возможности их появления.
События А1, А2, .. называются несовместными если появление одного из них исключает появление других событий при одном и том же испытании.
События А1, А2, …, А n образуют полную группу событий, если в результате испытаний обязательно появится одно из них.
Каждое событие обладает какой-то степенью возможности, одно событие в меньшей степени, другое – в большей степени. Эту возможность можно измерить численно. Это число называют вероятностью. Таким образом, можно дать определение.
|
|
Вероятность - это количественная оценка объективной возможности наступления
случайного события. По классическому определению, вероятностью случайного события Р(А) называется отношение числа mА благоприятствующих исходов к общему числу n равновозможных исходов эксперимента:
. (1)
Классическое определение вероятности имеет ряд недостатков.
Во-первых, определение (1) невозможно применить при бесконечном числе исходов Выход находят путем введения геометрической вероятности, как отношение мер длин, площадей. Например, попадание точки (рис. 1) в отрезок длиной на отрезке длиной :
. (2)
Рис. 1. Геометрическая интерпретация вероятности появления равновозможных событий.
Во-вторых, на практике довольно сложно представить априори результат испытаний в виде совокупности элементарных событий, еще труднее указать основание, позволяющее считать элементарные события равновозможными. В таком случае вводят понятие статистической (апостериорной) вероятности:
|
|
, (3)
где – число исходов опыта, в которых событие действительно появилось, – общее число исходов этого опыта. Причем, при большом числе испытаний значение статистической вероятности (2) сходится к теоретическому значению (1):
.
Постановка задачи для выполнения лабораторной работы.
Необходимо определить статистическую вероятность попадания случайной точки x в отрезок l= [c, d] на отрезке L=[a, b] (рис. 1) и сравнить значение статистической вероятности с теоретическим значением. Координаты отрезков l и L приведены в Приложении А. Номер варианта выбирается в соответствии с номером студента в списке группы.
Порядок выполнения работы
1. Построить последовательность из 20-ти случайных равновозможных чисел Xi, i=1,10 в интервале [a, b]. Построить такую последовательность можно с помощью ЭТ Excel. Для этого в строке меню выбрать Данные. Анализ данных. Если раздел Анализ данных отсутствует, то в главном меню выбрать: Параметры Excel . Надстройки. Пакет анализа. Перейти…
2. В диалоговом окне (ДО) Пакет анализа из списка выбрать Генерация случайных чисел.
3. В ДО установить следующие параметры: количество переменных: 10; число случайных чисел: 20; распределение: Равномерное; между: a и b, значения a и b выбираются из Приложения А; выходной интервал: указать одну угловую ячейку интервала, в котором будут располагаться 10 последовательностей по 20 чисел в каждой. Заполненное ДО представлено на рис. 2.
|
|
Рис. 2. Параметры генерации случайных чисел.
Таким образом, за одну операцию можно получить 10 различных реализаций. Результаты генерации представлены на рис. 3.
Рис. 3. Реализации случайных чисел.
4. Вычислить статистическую вероятность Р*для каждой из 10-ти последовательностей. Для этого необходимо вычислить mA - количество чисел, которые принадлежат интервалу [c, d], используя функцию ЕСЛИ(И(А3>=c;A3<=d);1;0). Для конкретного примера функция может выглядеть следующим образом: . В данном случае интересны числа, которые попадают в интервал [0; 2,5]. Результаты представлены на рис. 4. Далее, применив выражение (3), можно получить значение статистической вероятности. В ЭТ Excel это выглядит так: . В числителе подсчитывается количество чисел mA, принадлежащих заданному интервалу, в знаменателе – ссылка на ячейку, в которой хранится длина последовательности n. Если к вычислениям добавить строчку (рис.4) с теоретическим значением вероятности (2), можно построить график (рис. 5), на котором отражены колебания статистической вероятности относительно теоретического значения. На рис.4 данные для построения графика выделены серым цветом.
|
|
5. Вычислить среднее значение статистической вероятности для сгенерированных 10-ти последовательностей. В рассматриваемом примере Р*=0,245.
6. Пункты 1-5 представляют собой одну серию опытов. Необходимо выполнить N=10 таких серий. Если грамотно построены вычисления для первой серии последовательностей, то выполнение п.6 сведется к вызову Пакета анализа. При этом нужно сохранять в отдельном месте рабочего листа средние значения статистической вероятности для каждой из сгенерированных 10-ти последовательностей. Результаты генерации и вычислений представлены на рис. 6, а колебания значений вероятности – на рис.7.
Рис. 4. Результаты расчетов статистической вероятности
Рис.5. Вариация значений статистической вероятности.
Рис. 6. Результаты вычислений.
Рис. 7. Вариация усредненных значений статистической вероятности.
Если сравнить разброс значений вероятности на рис. 5 и рис. 7, то можно заметить, что отклонения значений статистической вероятности от теоретического значения, уменьшаются с увеличением числа испытаний.
Содержание отчета.
1. Постановка задачи.
2. Результаты расчетов для каждой серии опытов N=10 (закрашенная область на рис. 4).
3. Результаты вычислений по всем сериям опытов (рис. 6).
4. На графиках представить вариацию значений статистической вероятности для какой-либо одной реализации и для усредненных значений по всем сериям опытов (рис. 5 и рис. 7).
5. Анализ результатов и выводы.
Для защиты отчета знать основные определения, связанные с событиями и свойствами вероятности.
Приложение А
Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы № 1.
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 373; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!