Прямые и плоскости, касательные к кривым поверхностям
Содержание лекции
Понятия и определения. Построение плоскостей, касательных к поверхности. Взаимное касание поверхностей.
Понятия и определения
Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой ее точке, называют плоскость, образованную прямыми, касательными к плоским кривым, принадлежащим поверхности и проходящим через ту же точку.
|
На рис, 15.1 показаны три плоские кривые m 1, m 2, m 3, принадлежащие поверхности j и проходящие через точку К. Прямые t 1, t 2, t 3 это прямые, касательные соответственно к кривым m 1, m 2, m 3 в точке К. Все эти три прямые (t 1, t 2, t 3 ) будут лежать в одной плоскости. Эту плоскость мы и будем называть касательной плоскостью t к кривой поверхности j в точке К. В точке К к поверхности можно провести сколь угодно много касательных прямых. Все они будут лежать в той же плоскости t. Для построения касательной плоскости нет необходи-
мости задавать большое количество касательных прямых, принадлежащих этой плоскости. Для этого, как известно, достаточно задать две прямые. В качестве двух касательных прямых, определяющих собой касательную плоскость, выбирают такие прямые, построение которых является наиболее простым и удобным. При построении касательных прямых к плоским кривым линиям необходимо помнить, что кривая m и касательная к ней - прямая t должны быть компланарны, т.е. должны принадлежать одной плоскости. Так, если все точки кривой m, принадлежат
|
|
|
15.2
плоскости a (рис. 15.2), то прямая t, касающаяся кривой m в точке К, также должна принадлежать плоскости a.
|
Нормалью к поверхности в данной точке называют прямую, перпендикулярную к касательной плоскости и проходящую через точку касания.
Построение плоскостей, касательных к поверхности
Задачи на построение касательных плоскостей могут быть разделены на три группы.
1-ая группа. Задачи на построение плоскости, касающейся поверхности в данной точке.
2-ая группа. Задачи на построение касательной плоскости, проходящей через точку или прямую, расположенные вне поверхности.
3 - я группа. Задачи на построение касательной плоскости по определенным геометрическим условиям
Рассмотрим эти группы задач в указанной последовательности.
1-ая группа.
Задача.
Построить плоскость t, касательную к поверхности вращения в заданной точке К (рис. 15.3).
Решение
На поверхности через Точку К проводим окружность m и в точке К строим прямую t 1, касательную к этой окружности. Прямая t 1 лежит в горизонтальной плоскости, т.е. в плоскости окружности m.
|
|
|
Вторую касательную, определяющую плоскость t, строим как прямую,
15.3
Рис. 15.3
касательную к образующей поверхности, проходящей через точку К. Эта образующая, представляя собой часть дуги окружности, будет, однако, проецироваться на V дутой эллипса. Чтобы упростить решение, преобразуем чертеж. Для этого поверхность вместе с точкой К повернем вокруг оси поверхности до положения, при котором точка К окажется на очерке поверхности. Теперь через эту точку просто провести касательную прямую t 21, фронтальная проекция которой строится как прямая, касательная в точке К1" к очерку поверхности. Прямая t 21 пересечет ось поверхности в точке А. Осуществляя обратный поворот поверхности с точкой К до прежнего положения, получаем искомое положение касательной прямой t2.
Касательные прямые t1 и t2, как две пересекающиеся прямые, определяют собой касательную плоскость t.
Задача.
Дана фронтальная проекция прямой l, касающейся конуса в точке К. Построить горизонтальную проекцию этой прямой (рис. 15.4).
15.4
Рис. 15.4
Решение
Задачу можно решить двумя способами.
Первый путь решения. Если через прямую l провести фронтально-проецирующую плоскость, то последняя рассечет конус по плоской кривой - эллипсу. Прямая l в точке К окажется касательной к этому эллипсу. Построив горизонтальную проекцию эллипса, мы сможем в точке К построить к этой проекции касательную прямую, которая и будет представлять собой искомую горизонтальную проекцию прямой l. Однако такой путь решения в данном случае не является рациональным и не может быть рекомендован из-за своей сложности и недостаточной точности решения.
|
|
|
Второй путь решения. Этот путь, показанный на рис. 15.4, по сравнению с первым, является более простым и более точным. Через точку К к конусу можно провести бесчисленное множество касательных прямых, одной из которых является заданная прямая l. Все эти прямые лежат в одной - касательной плоскости. Легко построить такую плоскость, а затем потребовать, чтобы заданная прямая l лежала в этой плоскости.
Касательную плоскость t задаем образующей m, по которой, плоскость
15.5
t будет касаться конуса, и прямой t, касающейся в точке А основания конуса. Горизонтальную проекцию прямой l, найдем из условия, что прямая l должна пересекать прямую t в точке B.
2-ая группа.
Задача. Через заданную точку А провести плоскость t, касательную к конусу (рис. 15.5).
|
|
|
Рис. 15.5
Решение
Любая плоскость, касательная к конусу будет касаться последнего по одной из его образующих. Каждая образующая проходит через вершину конуса S. Следовательно вершина конуса S всегда будет принадлежать любой касательной плоскости. Если точки А и S принадлежат касательной плоскости, то и прямая (AS) будет принадлежать этой плоскости и, следовательно, определять эту плоскость. Взяв на этой прямой точку Т, лежащую в плоскости основания конуса, проводим через нее прямые t 1 и t 2, касающиеся основания конуса. Как видим, задача имеет два решения.
15.6
Одной из касательных плоскостей будет плоскость t 1(m,t 1), второй - t 2(m,t 2).
Для успешного решения других подобных задач полезно запомнить следующее правило:
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 430; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!