Занятие 12. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей .
Решение. Запишем характеристическое уравнение:
, , , .
Собственные значения оператора , .
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному значению :
, , ,
, , ,
, — собственному значению отвечают два линейно независимых собственных вектора и .
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному значению :
, , ,
, — собственному значению отвечает собственный вектор .
Проверим. , , . Верно.
Ответ: собственные значения оператора: , ; соответствующие собственные векторы: , , .
Пример 2. Найти матрицу оператора из предыдущего примера в собственном базисе. Оператор в предыдущем примере задан в некотором базисе матрицей .
Решение. В предыдущем примере найдены собственные значения
, и соответствующие собственные векторы оператора —
, , .
Собственные векторы оператора образуют базис в R3. Далее.
Первый способ
Поскольку в базисе
, , и .
Второй способ
Запишем матрицу перехода от исходного базиса — к собственному базису : . Тогда .
Решения, полученные обоими способами совпали.
Ответ: , , , .
Задача 12.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей .
Задача 12.2. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей .
|
|
Задача 12.3. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей .
Задача 12.4. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей .
Задача 12.5. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей .
Задача 12.6. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей .
Занятие 13. Кривые второго порядка
Кривые 2-го порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Задача 13.1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке С:
1) C = O(0, 0), R = 3; 2) C(2, -3), .
Задача 13.2*. Составить уравнение окружности C(2, 3), проходящей через начало координат.
Задача 13.3*. Составить уравнение окружности C(2, 3), касающейся оси ординат.
Задача 13.4*. Составить уравнение окружности C(2, 3), касающейся оси абсцисс.
Задача 13.5*. Составить уравнение окружности радиуса R = 2, касающейся осей координат.
Задача 13.6. Найти центр и радиус окружности: 1) x2 + y2 – 2x + 4y – 20 =0;
2) x2 + y2 – x =0; 3) x2 + y2 + y =0; 4) x2 + y2 + x =0; 5) x2 + y2 – 5x =0.
Задача 13.7. Изобразить линию, заданную уравнением: 1) ;
2) ; 3) ; 4) .
|
|
Задача 13.8. Найти полуоси эллипса: 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Задача 13.9. Найти на эллипсе точку с абсциссой – 3.
Задача 13.10. Найти на эллипсе точку с ординатой – 1.
Задача 13.11. Записать каноническое уравнение эллипса:
1) ; 2) ;
3) .
Задача 13.12. Изобразить линию, заданную уравнением:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Задача 13.13*. При каких значениях m прямая y = - x + m пересекает эллипс , касается его, не имеет с эллипсом общих точек.
Задача 13.14*. Эллипс касается оси абсцисс в точке A(3, 0), а оси ординат — в точке B(0, -4). Оси эллипса параллельны координатным осям. Записать уравнение эллипса.
Задача 13.15. Найти полуоси гиперболы: 1) ; 2) ;
3) ; 4) . Записать канонические уравнения сопряженных гипербол.
Задача 13.16. Найти на гиперболе точку с абсциссой –3.
Задача 13.17. Найти на гиперболе точку с ординатой –1.
Задача 13.18. Записать каноническое уравнение гиперболы:
1) ; 2) ;
3) , 4) .
Задача 13.19. Изобразить линию, заданную уравнением:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Задача 13.20*. Найти точки пересечения прямой 2x – y –10 = 0 и гиперболы .
Задача 13.21*. При каких значениях m прямая пересекает гиперболу , касается ее, не имеет с гиперболой общих точек.
Задача 13.22. Найти параметр и изобразить параболу:
1) y2 = 6x; 2) x2 = 5y; 3) y2 = -x; 4) y2 = 6x.
Задача 13.23. Найти на параболе y2 = 6x точку с абсциссой 3.
|
|
Задача 13.24. Найти на параболе y2 = – 2x точку с ординатой – 1.
Задача 13.25. Записать каноническое уравнение параболы:
1) ; 2) ;
3) , 4) .
Задача 13.26. Изобразить линию, заданную уравнением:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 139; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!