Пример задачи массового обслуживания
Задача. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью l = 81 чел. в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя = 2мин. Определите:
а. Минимальное количество контролеров-кассиров пmin, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n=nmin.
б. Оптимальное количество nопт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат Сотн., связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=nmin и n=nопт.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.
Решение.
а. По условию l = 81(1/ч) = 81/60 = 1,35 (1/мин.), r = l/m = l = 1,35×2 = 2,7. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии r/n < 1, т.е. при n > r = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров nmin = 3.
Найдем характеристики обслуживания СМО при п = 3.
Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, p0 = =(1+2,7+2,72/2!+2,73/3!+2,74/3!(3-2,7))-1 = 0,025, т.е. в среднем 2,5%времени контролеры-кассиры будут простаивать.
Вероятность того, что в узле расчета будет очередь
Pоч.= (2,74/3!(3-2,7))0,025 = 0,735.
Среднее число покупателей, находящихся в очереди
Lоч. = (2,74/3∙3!( 1-2,7/3)2)0,025 = 7,35.
|
|
Среднее время ожидания в очереди
Tоч.= 7,35/1,35 = 5,44 (мин).
Среднее число покупателей в узле расчета
Lсист.= 7,35+2,7 = 10,05.
Среднее время нахождения покупателей в узле расчета
Tсист. = 10,05/1,35 = 7,44 (мин).
Среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием
Таблица
Характеристика обслуживания | Число контролеров-кассиров | ||||
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
Вероятность простоя контролеров-кассиров p0 | 0,025 | 0,057 | 0,065 | 0,067 | 0,067 |
Среднее число покупателей в очереди Tоч. | 5,44 | 0,60 | 0,15 | 0,03 | 0,01 |
Относительная величина затрат Сотн. | 18,54 | 4,77 | 4,14 | 4,53 | 5,22 |
покупателей = 2,7.
Коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров
= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.
Абсолютная пропускная способность узла расчета А = 1,35 (1/мин), или 81 (1/ч), т.е. 81 покупатель в час.
Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех контролеров-кассиров.
б. Относительная величина затрат при n = 3
Cотн. = = 3/1,35+3∙5,44 = 18,54.
Рассчитаем относительную величину затрат при других значениях п (табл.).
|
|
Как видно из табл. 2, минимальные затраты получены при n = nопт. = 5 контролерах-кассирах.
Определим характеристики обслуживания узларасчета при n = nопт. = 5 . Получим Pоч. = 0,091; Lоч. = 0,198; Точ.= 0,146 (мин); Lсист. = 2,90; Tснст. = 2,15 (мин); = 2,7; k3 = 0,54.
Как видим, при n = 5 посравнению с n = 3 существенно уменьшились вероятность возникновения очереди Pоч., длина очереди Lоч. и среднее время пребывания в очереди Tоч. и соответственно среднее число покупателей Lсист. и среднее время нахождения в узле расчета Tсист., а также доля занятых обслуживанием контролеров k3. Но среднее число занятых обслуживанием контролеров-кассиров и абсолютная пропускная способность узла расчета А естественно не изменились.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более 3 покупателей, определится как
P(r ≤ 3) = p1+ p2+ p3+ p4+ p5+ | p5+1+ p5+2+ p5+3 = |
(когда заняты от 1 до 5 контролеров-кассиров) | (когда в очереди стоят от 1 до 3 покупателей) |
= 1- Pоч.+ p5+1+ p5+2+ p5+3. Получим при n=5:
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 1904; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!