Определение скорости точки при координатном способе задания движения.
Вектор скорости точки , учитывая, что rx = x, ry = y, rz = z, найдем:
Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.
Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы α, β, γ, которые вектор v образует с координатными осями) по формулам
Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени.
Направлен вектор скорости по касательной к траектории, которая нам наперед известна.
Определение ускорения точки при координатном способе задания движения
Вектор ускорения точки в проекции на оси получаем:
, ,
Или , , ,
т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул
;
, , ,
где , , - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.
Касательное и нормальное ускорение точки.
Касательное ускорение точки равно первой производной от модуля скорости или второй производной от расстояния по времени. Касательное ускорение обозначается – .
.
Касательное ускорение в данной точке направлено по касательной к траектории движения точки; если движение ускоренное, то направление вектора касательного ускорения совпадает с направлением вектора скорости; если движение замедленное – то направление вектора касательного ускорения противоположно направлению вектора скорости. (рис. 8.5.)
|
|
Рис. 8.5
Нормальным ускорением точки называется величина, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны.
Вектор нормального ускорения направлен от данной точки к центру кривизны, (рис.8.6.). Нормальное ускорение обозначается .
– нормаль к данной точке на траектории движения.
Рис. 8.6.
Полное ускорение точки определяется из векторного уравнения:
Рис. 8.7
Зная направление и модули и , по правилу параллелограмма определим ускорение, соответствующее данной точке траектории движения. Тогда модуль ускорения определим:
.
8 Поступательное движение твердого тела.
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, неизменно связанная с этим телом, остается параллельной своему начальному положению.
Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый данный момент имеют равные по модулю и направлению скорости и ускорения.
Доказательство. Проведем через две точки и , поступательно движущегося тела отрезок и рассмотрим движение этого отрезка в положении . При этом точка описывает траекторию , а точка – траекторию (рис. 56).
|
|
Учитывая, что отрезок перемещается параллельно самому себе, и длина его не меняется, можно установить, что траектории точек и будут одинаковы. Значит, первая часть теоремы доказана. Будем определять положение точек и векторным способом относительно неподвижного начала координат . При этом эти радиусы – вектора находятся в зависимости . Так как. ни длина, ни направление отрезка не меняется при движении тела, то вектор . Переходим к определению скоростей по зависимости (24):
, получаем .
Переходим к определению ускорений по зависимости (26):
, получаем .
Из доказанной теоремы следует, что поступательное движение тела будет вполне определено, если известно движение только одной какой- нибудь точки. Поэтому изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения одной его точки, т.е. к задаче кинематики точки.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 348; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!