К выполнению контрольной работы

1. Основные понятия о числовых рядах и определения.

Числовой последовательностью называется упорядоченный набор нумерованных чисел , представляющая собой функцию

, (1)

заданную на множестве натуральных чисел. Числа называются соответственно первым, вторым и так далее членами последовательности. Число , задаваемое формулой (1), называется общим членом последовательности.

В последовательностях и рядах широко используется функция натурального аргумента

представляющая собой произведение первых натуральных чисел. Обозначение читается как «эн факториал».

Пусть u ₁ , u ₂ , u ₃ ,…, u_n ,…, где u_n = f ( n ) , - бесконечная числовая последовательность. Тогда выражение

(2)

называется числовым рядом.

Числа называются членами ряда. При этом

называется общим членом ряда. Ряд считается заданным, если задана формула для . Нумерация членов ряда, вообще говоря, может начинаться с любого целого числа.

Сумму первых членов ряда по n-ный включительно обозначают S_n и называют n-ной частичной суммой ряда, т.е.

Сумму остальных слагаемых, начиная с -го, называют n -ным остатком числового ряда и обозначают , т.е.

Согласно определению (2), остаток числового ряда можно рассматривать как самостоятельный числовой ряд.

Предел последовательности частичных сумм при , если он существует, называется суммой ряда и обозначается буквой S , т.е.

Если существует, т.е. если сумма S есть конечное число, то говорят, что ряд (2) сходится. В противном случае говорят, что ряд (2) расходится.

Частный случай числового ряда – геометрический ряд, представляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии:

Его частичная сумма:

При этом если , то геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, и геометрический ряд имеет конечную сумму

В случаях, когда , геометрический ряд расходится, т.е. конечной суммы не имеет.

2. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости.

Свойство 1.

Если сходится ряд

(3)

то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа его членов. Наоборот, если сходится ряд, полученный из данного путем отбрасывания конечного числа его членов, то сходится и данный ряд.

В частном случае, когда речь идет об отбрасывании первых членов ряда, свойство можно сформулировать так: если сходится ряд (3), то сходится и ряд

и наоборот (m – конечное число первых отброшенных членов).

В более широком смысле данное свойство можно сформулировать следующим образом: отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

Свойство 2.

Если сходится ряд

и его сумма равна , то сходится и ряд

где a – некоторое число, и сумма его равна .

Свойство 3.

Если сходятся ряды

и ,

и их суммы равны соответственно и , то сходится и ряд

и сумма его равна .

Необходимый признак сходимости.

Если ряд

сходится, то его общий член при стремится к нулю, т.е.

3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Знакоположительным называется такой числовой ряд, все члены которого положительны.

Первый признак сравнения(признак сравнения в непредельной форме).

Пусть даны два ряда с положительными членами:

(4)

, (5)

причем каждый член ряда (4) не превосходит соответствующего члена ряда (5), т.е.

, . (6)

Тогда если сходится ряд (5), то сходится и ряд (4); если расходится ряд (4), то расходится и ряд (5).

Этот признак справедлив и для случая, когда условие (6) начинает выполняться не при , а с любого значения номера .

Второй признак сравнения(признак сравнения в предельной форме).

Пусть для рядов (4) и (5) существует предел

Тогда если , то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся; если и ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если же

и ряд (5) расходится, то расходится и ряд (4).

Ряды, сходимость или расходимость которых полезно запомнить для применения признаков сравнения.

Гармонический ряд: ; этот ряд расходится.

Обобщенный гармонический ряд (или ряд Дирихле): ; этот ряд расходится при и сходится при . Рассмотренный выше гармонический ряд является частным случаем ряда Дирихле при .

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

существует предел отношения последующего члена к предыдущему

то этот ряд сходится при и расходится при .

При возможны оба случая, т.е. исследование такого ряда по признаку Даламбера не дает однозначного ответа на вопрос о сходимости.

Радикальный признак Коши.

Если для ряда с положительными членами

существует предел

то этот ряд сходится, если , и расходится, если .

При возможны оба случая, т.е. исследование такого ряда по радикальному признаку Коши не дает однозначного ответа на вопрос о сходимости.

Интегральный признак Коши.

Ряд с положительными членами

, (7)

где , и - непрерывная монотонно убывающая при функция, сходится, если сходится несобственный интеграл

. (8)

Если же интеграл (8) расходится, то расходится и ряд (7).

4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.

Числовой ряд называется знакопеременным, если он содержит как положительные, так и отрицательные члены, причем количества и тех и других бесконечны.

Знакопеременный ряд

, (9)

сходится, если сходится ряд, составленный и модулей его членов:

. (10)

При этом говорят, что ряд (9) сходится абсолютно. Если же ряд (10) расходится, то ряд (9) может как сходиться, так и расходиться. В случае его сходимости говорят, что он сходится неабсолютно, или условно.

5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Знакочередующиеся ряды представляют собой частный случай знакопеременных рядов, когда знаки членов «плюс» и «минус» поочередно меняются. Если считать все числа положительными, то знакочередующийся ряд в общем виде можно записать таким образом:

, (11)

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, и общий член ряда по модулю стремится к нулю.

Таким образом, для сходимости знакочередующегося ряда (11) достаточно выполнения двух условий:

1) ;

2) .

Следствия из теоремы Лейбница:

1) сумма сходящегося знакочередующегося ряда, записанного в форме (11), положительна и меньше его первого члена:

; (12)

2) если ряд (11) сходится по признаку Лейбница, то его остаток

по модулю меньше своего первого члена: .

6. Функциональные ряды.

Функциональным называется ряд, члены которого суть функции переменной :

, (13)

Функция

называется частичной суммой ряда (13). Предел частичной суммы при , если он существует как функция аргумента , называется суммой функционального ряда:

При этом говорят, что ряд (13) сходится. Значение , при котором ряд (13) сходится, т.е. сходится числовой ряд , называется точкой сходимости функционального ряда. Множество значений аргумента , при которых функции определены, и ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Функция

называется остатком функционального ряда.

7. Степенные ряды. Область и радиус сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (14)

где a , A ₀ , A ₁ , A ₂ , …, A_n , … - действительные числа.Частный случай степенного ряда при :

Теорема Абеля. Если степенной ряд (14) сходится при , то он сходится, причем абсолютно, при любом x, удовлетворяющем неравенству

. (15)

Если же ряд (14) расходится при , то он расходится и при любом x, удовлетворяющем неравенству

. (16)

Поясним формулировку теоремы Абеля. После несложных преобразований условия (15) и (16) можно соответственно записать в виде

Отсюда следует, что число в окрестности точки a образует симметричный относительно нее интервал. При этом если ряд сходится при , то гарантирована его сходимость и внутри интервала. Если же он расходится при , то он обязательно расходится и во всех точках вне интервала. Таким образом, теорема Абеля фактически устанавливает существование симметричного относительно точки интервала абсолютной сходимости степенного ряда. Половина его длины обозначается R и называется радиусом сходимости, а точка - центром сходимости.

Радиус сходимости R может принимать значения от 0 до , т.е. . Интервал абсолютной сходимости может быть записан в виде . Сходимость ряда в точках и должна быть исследована особо, и в случае ее установления соответствующая граница добавляется к интервалу, образуя область сходимости.

Применив к степенному ряду признак сходимости Даламбера, для радиуса сходимости можно получить формулу

. (17)

Эта формула справедлива только в тех случаях, когда ряд содержит все целые степени разности , т.е. не имеет нулевых коэффициентов.

Если же для анализа сходимости степенного ряда применить радикальный признак Коши, то получится формула

Теорема. Любой степенной ряд внутри его интервала сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать; при этом его радиус сходимости сохраняется, а сумма ряда также интегрируется или дифференцируется.

8. Ряды Тейлора и Маклорена.

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд

(18)

При этом говорят, что ряд Тейлора построен для в точке .

Остаток ряда Тейлора может быть записан в форме Лагранжа:

Если функция бесконечно дифференцируема в некоторой области и при этом в этой области выполняется условие

то ряд (17) в данной области сходится к функции , т.е. справедливо равенство

Частный случай ряда Тейлора при называется рядом Маклорена. Остаток ряда Маклорена в форме Лагранжа имеет вид:

а разложение функции в ряд Маклорена, при условии , выглядит следующим образом:

Если , то ряд Тейлора (Маклорена), даже если он сходится, имеет сумму, отличную от .

Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций, представленные ниже вместе с их областями сходимости, полезно запомнить для их применения при разложении других, более сложных функций.

Последний ряд называется биномиальным, т.к. функция, для которой построен этот ряд, представляет собой бином (двучлен) произвольной степени . Гарантированная область сходимости биномиального ряда указана для любых значений ; для некоторых значений она может быть расширена в ту или другую сторону (или в обе) включением в нее границы интервала.

Частные случаи биномиального ряда выглядят следующим образом:

Из первого частного случая могут быть получены ряды еще для двух часто встречающихся в практических задачах функций:

;

9. Применение степенных рядов для вычисления функций и определенных интегралов.

Для вычисления значения функции при данном значении аргумента можно воспользоваться разложением этой функции в степенной ряд. В частности, удобно воспользоваться приведенными в предыдущем пункте разложениями в ряд Маклорена функций . Если значение аргумента принадлежит области сходимости, то после разложения функции в ряд и подстановки искомое значение функции представляет собой сумму числового ряда. Поскольку полную сумму ряда, представляющую собой точное значение функции, найти, как правило, затруднительно, то в этом ряде сохраняется такое количество первых членов, которое гарантирует необходимую в данном конкретном случае точность. Точность вычислений задается обычно одной значащей цифрой в каком-либо разряде. Так, запись означает, что точное значение величины находится в пределах от 5,39 до 5,43. Это можно записать следующим образом: . Другими словами, заданная точность - это та погрешность, в пределах которой приближенное значение может отличаться от точного.

Для приближенного вычисления определенного интеграла нужно разложить в степенной ряд подынтегральную функцию, проинтегрировать степенной ряд почленно и сохранить в ряде достаточное для обеспечения заданной точности количество его первых членов; при этом область интегрирования не должна выходить за рамки области сходимости ряда.

10. Ряды Фурье.

Функциональный ряд вида

(19)

называется тригонометрическим рядом.

Если коэффициенты и вычислены по формулам

, , , (20)

то тригонометрический ряд (19) представляет собой ряд Фурье для функции , заданной на отрезке .

Теорема Дирихле. Если - кусочно гладкая на отрезке функция, то ее ряд Фурье сходится к функции во всех точках, где она непрерывна. В точках разрыва ряд сходится к значению , а на концах интервала – к значению .

В силу теоремы Дирихле для функции, заданной на отрезке и для периодической функции с периодом в точках непрерывности справедливо равенство:

где коэффициенты и вычисляются по формулам (20).

Для четной функции, заданной на отрезке или для четной с периодом с периодом коэффициенты при нечетных членах ряда Фурье оказываются нулевыми, и ряд принимает вид

где

; .

Аналогично для нечетных функций:

; .

Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке и для периодической функции с периодом :

где

, , .

Здесь для четных функций:

, где , ;

для нечетных функций:

, где .

Если требуется представить рядом Фурье функцию, заданную на отрезке , то ее формально можно доопределить четным или нечетным образом в промежутке и применить приведенные выше формулы.

Решение примерного варианта

Задача 1. Исследовать сходимость числового ряда.

а) .

К данному знакоположительному ряду применим признак Даламбера:

; ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

б) .

Исследуем данный знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость, рассмотрев ряд, составленный из модулей его членов:

Полученный знакоположительный ряд сравним по второму признаку сравнения с гармоническим рядом , про который известно, что он расходится:

Предел существует и не равен нулю; следовательно, согласно признаку, исследуемый ряд, как и гармонический, тоже расходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд абсолютной сходимости не имеет.

Проверим теперь, обладает ли исходный знакочередующийся ряд условной сходимостью. Для этого используем признак Лейбница:

;

, т.е. для любых выполняется условие .

Оба условия признака Лейбница выполняются, т.е. по признаку Лейбница ряд сходится. Таким образом, исходный знакочередующийся ряд сходится условно.

Ответ: ряд сходится условно.

Задача 2. Найти область сходимости степенного ряда.

Здесь центр сходимости . Найдем радиус сходимости по формуле (16), полученной из признака Даламбера:

Так как при функции и являются эквивалентными бесконечно малыми, то при эквивалентны бесконечно малые и , а также и . Поэтому

По найденному радиусу сходимости получаем гарантированный интервал абсолютной сходимости:

Исследуем сходимость ряда на границах этого интервала.

· .

Этот знакочередующийся ряд не имеет абсолютной сходимости, т.к.

, и ряд расходится (второй, предельный признак сравнения). В то же время для него выполняются условия и , т.к. - возрастающая функция. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница, т.е. исходный степенной ряд в т. сходится условно.

· .

Этот знакоположительный числовой ряд также можно сравнить с расходящимся рядом по второму признаку сравнения, из чего следует, что ряд расходится.

Ответ: область сходимости данного степенного ряда: .

Задача 3. Данную функцию представить в виде степенного

ряда по степеням (x – a), где а – данное число.

Требуется разложить функцию по степеням двучлена . Обозначим его новой переменной: . Тогда , и . Последнее выражение представим в виде и введем еще одну переменную: . После этого . Теперь для функции применим ее известное разложение в ряд Маклорена (см. справочную информацию):

В последнем разложении возвратимся к переменной и далее к исходной переменной :

Найдем теперь область сходимости. Для переменной ее составляет интервал , т.е. . Тогда и . Отсюда получаем, что .

Ответ: , .

Задача 4. Вычислить приближенно с заданной точностью

значение функции при данном значении аргумента

с помощью разложения функции в степенной ряд.

при .

По условию задачи требуется вычислить с точностью до четвертого знака после запятой. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции :

Подставим сюда заданное значение :

, 0, 1, 2, … . (а)

Здесь в правой части при вычислении нужно учесть такое количество первых членов, чтобы остаток не превышал заданной погрешности: . При этом ряд в правой части (а) получился знакочередующимся, и для него модуль остатка меньше первого члена этого остатка: . Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно выполнить условие

. (б)

Поскольку

то условие (б) принимает вид

, или .

Методом подбора легко убедиться, что последнее условие начинает выполняться с номера :

Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно вычислить сумму первых шести членов ряда, с нулевого по пятый:

Ответ: .

Задача 5. Вычислить приближенно с заданной точностью

определенный интеграл с помощью разложения

подынтегральной функции в степенной ряд.

Воспользуемся известным разложением в ряд логарифмической функции:

Заменим в этой формуле на :

Пересчитаем область сходимости:

Констатируем, что интегрирование требуется произвести в пределах области сходимости. Следовательно, ряд, которым представлена подынтегральная функция, можно интегрировать почленно. Выполним это:

0, 1, 2, …

Полученный ряд оказался знакочередующимся. Поэтому используем то же самое условие обеспечения заданной точности, что и в предыдущей задаче:

. (а)

Здесь

поэтому минимально необходимое находим из условия

, или :

Из последнего вытекает, что для обеспечения заданной точности достаточно просуммировать первые шесть членов ряда:

Ответ: .

Задача 6. Данную функцию разложить в ряд Фурье в

заданном интервале.

, (-1, 1).

Легко убедиться, что в заданном интервале функция непрерывна и, следовательно, может быть представлена своим рядом Фурье в смысле теоремы Дирихле. Кроме того, в рассматриваемом интервале она четная, поэтому ее ряд Фурье должен содержать только четные тригонометрические функции, т.е. косинусы. На этих основаниях записываем:

, . (а)

Находим коэффициенты.

Т.к. , то . Тогда

Далее, , 1, 2, … . и, следовательно, коэффициенты имеют ненулевые значения только при нечетных , т.е. при . Таким образом,

Подставляем найденные коэффициенты в формулу (а):

Ответ: , (-1; 1).

Литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 604 с.

2. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие для втузов: в 2 т. Т. 2 / Н. С. Пискунов.– Изд. стер. – М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 544 с.

3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. Ч.2. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.– М.: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003. – 304 с.

4. Шипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

5. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2001. – 304 с.

6. Котов, А.А. Числовые ряды. Функциональные степенные ряды / А.А. Котов. – Мурманск: МГТУ, 2003. – 92 с.

Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 104; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!