Правильный многогранник: виды и свойства многогранников.
Реферат по геометрии
На тему «Правильные многоугольники».
Учеников МАОУ «Лицея №4»
11 класса «А»
В.В.; Г.Н.; П.Е.;Ц.А.;Р.Д.
Рязань 2018
Содержание:
1.введение………………………………………..
2.понятие многогранников………………
3.виды многогранников…………………..
3.1. призма………………………………………..
3.2. пирамиды…………………………………..
3.3. правильный многогранник: виды и свойства многогранников…………………………………………..
3.4.гексаэдр и его свойства…………………………...
3.5. тэтраэдр……………………………………………..
3.6. октаэдр и его свойства……………………………
3.7. додекаэдр…………………………………………..
3.8 икосаэдр…………………………………………….
3.9.полуправильные многоугольники……………..
3.10. звёдчатые многогранники……………………..
4. заключение………………………………………….
Введение.
Мы взялись за эту тему, потому что многоугольники окружают нас повсюду: в школе, дома , на работе и т.д. Нам было интересно узнать побольше из-за того, что человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от маленького ребенка, который играет с кубиками, до взрослого человека. Некоторые многогранники встречаются в природе – в виде кристаллов или вирусов, пчелы строят соты в форме шестиугольников. Первые упоминания о многогранниках известны ещё за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики.
|
|
|
Для того чтобы больше узнать о правильных многогранниках, мы поставили перед собой такие задачи:
1. Найти и проанализировать материал о правильных многогранниках.
2. Обобщить обработанный материал.
3. Оформить реферат.
4. Подготовить презентацию.
5. Представить презентацию в PowerPoint.
Понятие многогранников.
Многогранник – совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что:
1. каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного (называемого смежным с первым) по этой стороне);
2. от любого из многоугольников составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним и т.д.
Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а их вершины – вершинами многогранника.
Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник:
– если под многоугольником понимают плоские замкнуты ломаные (хотя бы и само пересекающиеся), то приходят к данному определению многогранника;
– если под многоугольником понимать часть плоскости, ограниченной ломанными, то с этой точки зрения под многогранником понимают поверхность, составленную из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое так же называют многогранником. От сюда возникает третья точка зрения на многогранники как на геометрические тела, при чем допускается также существование у этих тел “дырок”, ограниченных конечным числом плоских граней.
|
|
|
Простейшими примерами многогранников являются призмы и пирамиды.
Многогранник называется n-угольнойпирамидой, если он имеет одной своей гранью (основанием) какой-либо n-угольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной, не лежащей в плоскости основания. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
Многогранник называется n-угольной призмой, если он имеет двумя своими гранями (основаниями) равные n-угольники (не лежащие в одной плоскости), получающиеся друг из друга параллельным переносом, а остальные грани – параллелограммы, противоположными сторонами которых являются соответственные стороны оснований.
Для всякого многогранника нулевого рода эйлерова характеристика (число вершин минус число ребер плюс число граней) равна двум; символически: В – Р + Г = 2 (теорема Эйлера). Для многогранника рода pсправедливо соотношение В – Р + Г = 2 – 2p.
|
|
|
Выпуклым многогранником называется такой многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.
Правильными называют выпуклые многогранники, все грани которых представляют собой одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней. Такие многогранники называют также платоновыми телами. Платоновы тела — это совокупность всех правильных многогранников, объемных (трехмерных) тел, ограниченных равными правильными многоугольниками, впервые описанных Платоном. Им также посвящена заключительная, XIII книга «Начал» Платонова ученика Евклида. При всём бесконечном многообразии правильных многоугольников (двумерных геометрических фигур, ограниченных равными сторонами, смежные пары которых попарно образуют равные между собой углы), существует всего пять объемных П. т., в соответствие которым со времен Платона ставятся пять стихий мироздания: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.
Виды многогранников.
Призма и её свойства.
|
|
|
Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:
Ø Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с двумя парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
Ø Прямая призма имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
Ø Наклонная призма характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
Ø Правильная призма характеризуется основаниями в виде правильного многоугольника с равными боковыми гранями.
Основные свойства призмы:
Ø Конгруэнтные основания.
Ø Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
Ø Все боковые грани имеют форму параллелограмма.
Пирамида.
Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке – вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник – это треугольная пирамида, четырёхугольник – четырёхугольная, и т.д.
Пирамиды – это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:
Ø Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
Ø Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.
Свойства пирамиды:
Ø В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
Ø Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.
Правильный многогранник: виды и свойства многогранников.
В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:
Ø Тетраэдр.
Ø Гексаэдр.
Ø Октаэдр.
Ø Додекаэдр.
Ø Икосаэдр.
Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству – симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.
Гексаэдр и его свойства.
В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.
В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со свойствами призмы с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:
Ø Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
Ø Все грани – конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
Ø Все межгранные углы равны 90.
Ø Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
Ø Куб имеет 9 осей симметрии, которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.
Тетраэдр.
Тетраэдр – это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.
Свойства правильного тетраэдра:
Ø Все грани тетраэда – это равносторонние треугольники, из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
Ø Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
Ø Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
Ø Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.
Октаэдр и его свойства.
Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.
Свойства октаэдра:
Ø Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
Ø Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.
Додекаэдр.
Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр – фигура из 12 многоугольников.
Свойства додекаэдра:
Ø В каждой вершине пересекаются по три грани.
Ø Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
Ø У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.
Икосаэдр.
Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:
Ø Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
Ø В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
Ø Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 741; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!