ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Практическая работа №3
«Основы интегрального исчисления. Методы нахождения неопределенных интегралов. Вычисление определенных интегралов»
Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме.
Вопросы теории (исходный уровень):
1. Первообразная функции и неопределённый интеграл.
2. Интегрирование.
3. Методы нахождения неопределенных интегралов: приведение к табличному виду и метод замены переменной, интегрирование по частям.
4. Определённый интеграл, его применение для вычисления площадей фигур и работы переменной силы.
5. Вычисление определенных интегралов, правило Ньютона-Лейбница.
6. Примеры использования интегрального исчисления в медицинских задачах (самостоятельная подготовка)
Содержание занятия:
1. ответить на вопросы по теме занятия
2. решить примеры
Примеры
Найти интегралы:
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
7) | 8) | 9) |
10) | 11) | 12) |
13) | 14) | 15) |
16) | 17) | 18) |
19) | 20) | 21) |
22) | 23) | 24) |
25) | 26) | 27) |
Вычислить интегралы:
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
7) | 8) | 9) |
10) | 11) | 12) |
13) | 14) | 15) |
16) | 17) | 18) |
19) | 21) | 22) |
23) | 24) | 25) |
26) | 27) | 28) |
29) | 30) | 31) |
32) | 33) | 34) |
35) | 36) | 37) |
38) |
Тема
Неопределенный интеграл
Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ f(x)dx.
|
|
Свойства неопределенного интеграла
∫f(x)dx=F(x)+C
∫[f(x)+φ(x)]dx=∫ f(x)dx+∫φ(x)dx
∫ d(F(x))=F(x)+C
(∫f(x)dx)=f(x)
∫f(x)dx= ∫f(t)dt
d∫f(x)dx=f(x)dx
∫af(x)dx+a∫f(x)dx
Основные интегралы
∫dx=x+C
∫xndx=xn+1/ (n+1) +C (n≠-1)
∫dx/x=ln|x|+C
∫axdx=ax/lna +C
∫exdx=ex+C
∫sin x dx=-cos x +C
∫cos xdx=sin x +C
∫dx/cos2x=tgx+C
∫dx/sin2x=-ctgx+C
∫dx/(1-x2)1/2=arcsinx=-arccosx
∫dx/(1+x2)= arctgx=- arcctgx
Интегрирование по частям
∫ udv = uv—∫ vdu.
Пример
Найти у = ∫ ln хdх.
Полагаем и=lпх, dv = dx, тогда dи =dx/x, v = x
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
у = ∫ ln xdx = x ln х-∫ dх = xlnx-x+C
Пример метод непосредственного интегрирования
Найти у= ∫ (1+ 2x2)dx
На основании свойства интеграла суммы запишим
у= ∫ (1+ 2x2)dx = ∫ dx+2 ∫ x2dx =x+2x3/3+C
Пример; метод замены переменной( метод подстановки)
∫tgxdx=∫(sinx/cosx)dx обозначим cosx=t
Продифферинцируем праву и левую часть
-sinxdx=dt найдем dx=dt/(-sinx)
Запишим интеграл через новые переменные
∫(sinx/t) dt/(-sinx) =-∫dt/t= lnt+C или lncosx+C
Определенный интеграл
Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b] представляет предел интегральной суммы
|
|
lim∑f(ki)Δxi ( от i=1 до n и Δx→0)
где ki — произвольная точка соответствующего отрезка.
Формула Ньютона — Лейбница
где F′ — первообразная функцию f(x), т е
F′(x)=f(x)
Некоторые свойства определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,
Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f1(x) и у = = f2(x) [ f'2(x)≥f1(x)] и двумя прямыми х=а и х=b,
Дифференциальные уравнения
Общий вид дифференциального уравнения
F(x ,y,y′,y″,…yn) = О
Общee решение дифференциального уравнения
y=f(x, C1,C2, , Сn)
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка
F(x,y,y') = 0
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка
y= f(x,C)
примеры
1 Дифференциальное уравнение типа y'=f(x)
dy/dx=f(х) , dx = f(x)dx
Общее решение
y=∫f(x)dx=F(x)+C
Дифференциальное уравнение типа
у' = f(y)
dy/dx=f(y), dy/f(y)=dx
Общее решение
∫dy/f(y)=F(y)+C
Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
f(x) dx + φ(y)dy = 0
Общее решение
∫f(x) dx + ∫φ(y)dy = C, F(х) + Ф(у) = С
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
|
|
f(x)φ(y)dx+ψ(x)Ф(y)dy=0
Приведем это уравнение к уравнению с разделенными переменными
(f(x)/ψ(x))dx+(Ф(y)/φ(y))dy=0
Общее решение
∫(f(x)/ψ(x))dx+∫(Ф(y)/φ(y))dy=C, F1(x)+F2(y)=C
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Из школьного курса математики известно, что математические операции образуют пары двух взаимно обратных действий (например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование).
Дифференцирование дает возможность для заданной функции F ( x ) находить ее производную ¢ F ¢ ( x ) или дифференциал dF = F ¢ ( x ) dx .
Cуществует действие, обратное дифференцированию,- интегрирование - нахождение функции F ( x ) по известной ее производной f ( x ) = F ¢ ( x ) или дифференциалу f ( x ) dx.
Функцию F( x ) называют первообразной функции f ( x ), если для всех х из области определения функции F ¢ ( x ) = f ( x ) или dF ( x )= f ( x ) dx.
Например, функция F ( x ) = x 5 является первообразной функции f ( x ) = 5 x 4 для х Î ] - ¥ , + ¥ [ , так как при любом х (х5) ¢ = 5х4 и dx 5 =5 x 4 dx.
Для функции f ( x ) = 5 x 4 первообразной будет любая функция Ф(х) = х5 + С, где С – произвольное постоянное число, так как производная постоянной равна нулю.
|
|
В общем случае, если f(x) имеет первообразную функцию F(x), совокупность F(x) + C также будет первообразной для f(x):
(F(x) + C) ¢ = F ¢ (x) = f(x).
Cовокупность первообразных F ( x ) + С для данной функции f ( x ) или данного дифференциала f ( x ) dx называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают òf ( x ) dx.
По определению, òf ( x ) dx = F ( x ) + C (читается «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).
Выражение f ( x ) dx называют подынтегральным выражением, функцию f ( x ) – подынтегральной функцией, а С – постоянной интегрирования.
Вычисление интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.
Пример. Найти неопределенный интеграл от функции f ( x ) = cos x, если при х = 0 F (0) = 0.
Решение. Функция cos x есть производная от функции sin x, поэтому ò cos xdx = sin x + C . Обозначим искомую первообразную F ( x ) = sin x + C . Подставив в последнее выражение начальные данные x = 0 и F (0) = 0, получим 0 = sin 0 + C , откуда C = 0. Искомая первообразная F ( x ) = sin x .
В геометрии с помощью неопределенного интеграла по закону углового коэффициента касательной в любой точке кривой можно найти уравнение кривой.
Пример. Угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен её абсциссе, то есть r = x. Составить уравнение кривой.
Решение. Так как угловой коэффициент r = tg j = f ¢ ( x ) = x , то y = ò xdx = = x 2 /2 + C есть семейство парабол, отличающихся друг от друга на постоянную С.
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 89; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!