Частинні похідні та повний диференціал
Дотепер ми розглядали функції, які мали один аргумент.
Нехай кожній точці з деякої області площини відповідає єдине дійсне значення за певним правилом: . (7.1) Тоді відповідність (7.1) називають функцією двох змінних, а множину значень , для якої вона має сенс, називають її областю визначення функції. |
Для функції двох змінних область визначення, взагалі кажучи, є деякою областю площини . А графічне зображення самої функції (7.1) визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в трьохвимірному просторі .
Аналогічно можна ввести в розгляд функцію декількох змінних.
Розглянемо функцію і точку з області її визначення. Станемо змінювати координату , залишаючи значення постійним. В результаті отримаємо функцію від однієї змінної .
Надамо величині приросту таким чином, що точка теж буде належати області визначення функції (7.1). Складемо різницю
,
яку називають частинним приростом функції (7.1) по аргументу в точці .
Якщо існує скінченна границя , то її називають частинною похідноювід функції по її аргументу в точці і позначають . |
Аналогічно вводимо частинний приріст функції по аргументу в точці :
.
Якщо існує скінчена границя , то її називають частинною похідною від функції по її аргументу в точці і позначають . |
Правило обчислення частинних похідних: частинні похідні обчислюють за відомими правилами диференціювання функції однієї змінної; при обчисленні вважають постійною величиною; при обчисленні постійним слід вважати .
|
|
Приклад 7.1. | Знайти частинні похідні функцій: а) ; б) ; в) . |
Розв’язання. а) , ;
б) , ;
в) , .
Геометричний зміст частинних похідних функції :
Частинна похідна дорівнює тангенсу кута, який утворює дотична до кривої в точці з віссю . | |
Частинна похідна дорівнює тангенсу кута, який утворює дотична до кривої з віссю . |
Крива визначається як перетин поверхні площиною , а крива є перетином цієї поверхні площиною .
Розглянемо функцію змінних . Частинною похідною називають звичайну похідну по змінній від функції, яку отримують наданням всім іншим змінним сталих значень. |
Приклад 7.2. | Визначити частинну похідну функції за змінною . |
Розв’язання. .
Частинні похідні і називають частинними похідними першого порядку. Вони самі є функціями двох змінних і в свою чергу можуть мати частинні похідні. По відношенню до вихідної функції (7.1) похідні від похідних називають частинними похідними другого порядку. Їх позначають , . Похідні від частинних похідних другого порядку називають частинними похідними третього порядку. |
|
|
Аналогічно визначають частинні похідні будь-якого порядку. Частинну похідну порядку вище першого по різним змінним називають змішаною.
Приклад 7.3. | Обчислити частинні похідні другого порядку функції . |
Розв’язання. Визначимо спочатку частинні похідні першого порядку:
, .
Частинні похідні другого порядку мають вигляд:
, , , .
Порівнюючи змішані похідні, бачимо, що вони співпадають: . Цей факт не є випадковим.
Теорема 7.1. | (про змішані похідні) Нехай функція має неперервні змішані частинні похідні, тоді . |
Справедливим також є наступний факт: дві неперервні частинні похідні одного порядку, що відрізняються лише порядком виконання операцій диференціювання, але не кількістю цих операцій для кожного з аргументів, будуть рівними між собою.
Таким чином, значення будь-якої змішаної частинної похідної елементарної функції не залежить від порядку диференціювання.
Наприклад,
.
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 311; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!