Квантовомеханическое описание водородоподобных атомов
Как следует из соотношений, полученных при решении задачи 5.1, длина волны де Бройля для движущегося в атоме электрона сравнима с размером атома. Мы знаем, что в этих условиях нельзя пренебречь волновыми свойствами электрона, и его движение в атоме не может быть описано законами классической физики.
Поэтому атомные системы являются важнейшими объектами физики, для описания которых следует обязательно использовать законы квантовой механики. При этом существенно, что для такого описания квантовая механика не требует каких-либо дополнительных предположений, условий и постулатов, аналогичных постулатам в теории Бора.
Сформулируем постановку стационарной задачи квантовой механики для водородоподобного атома, описывающей движение электрона в электрическом поле неподвижного ядра с зарядом 
, где 
для атома водорода и 
для других водородоподобных атомов (ионов). Такая модель является важнейшей моделью атомной физики. Для этой модели потенциал поля, в котором движется электрон, может быть записан точно. Поэтому все выводы квантовой теории водородоподобных атомов могут быть проверены непосредственно в эксперименте.
Потенциальная энергия электрона в электрическом поле ядра определяется выражением
 .
| (15.1) |
Движение электрона в таком поле можно рассматривать как движение в некоторой сферической потенциальной яме, форма которой изображена на рис. 15.3.
|
|
|
По аналогии с задачей о движении частицы в потенциальной яме простой формы, можно ожидать, что спектр энергии электрона в атоме будет дискретным, то есть состоять из отдельных энергетических уровней со значениями полной энергии электрона 
, 
, 
и т.д. Для атома водорода этот энергетический спектр должен совпасть с полученным в теории Бора спектром энергий, который подтверждается в оптических экспериментах.
|
| Рис. 15.3. |
ЛЕКЦИЯ №16
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА АТОМА
Квантовые числа и их физический смысл. Опыт Штерна и Герлаха. Гипотеза о спине электрона. Атом в магнитном поле.
Квантовые числа и их физический смысл
Как следует из решения уравнения Шредингера для атома водорода, квантовое состояние электрона в этом атоме (можно сказать и квантовое состояние атома) полностью определяется заданием трех квантовых чисел. "Задайте значения квантовых чисел, и я полностью опишу свойства атома" - так может современный физик перефразировать известное изречение Архимеда.
Каждое из квантовых чисел принимает только целочисленные значения и определяет, то есть предсказывает результаты измерения основных физических величин в заданном квантовом состоянии атома.
|
|
|
1. Главное квантовое число 
. Это квантовое число принимает значения
и определяет полную энергию электрона в любом квантовом состоянии
 .
| (16.1) |
В связанном состоянии электрон в атоме водорода имеет дискретный энергетический спектр, лежащий в области отрицательных значений и имеющий точку сгущения 
.
2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число 
. В квантовых состояниях с заданным значением главного квантового числа 
азимутальное квантовое число может иметь следующие значения:
.
Из выводов предыдущего параграфа следует, что стационарные волновые функции 
, описывающие различные квантовые состояния атома, являются собственными функциями не только оператора полной энергии 
, но и оператора квадрата момента импульса 
, причем
.
Следовательно, в любом квантовом состоянии атом обладает определенным значением квадрата момента импульса, причем модуль орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона однозначно определяется орбитальным квантовым числом:
 .
| (16.2) |
Проанализируем эту формулу квантования момента импульса. Сравнивая ее с условием квантования момента импульса движущегося электрона в теории Бора, можно заметить, что эти условия не совпадают. И дело не только в отличии числовых значений, рассчитанных по этим формулам. Принципиальное отличие этих соотношений состоит в том, что в квантовой механике возможны состояния атома с нулевым моментом импульса. Во всех 
-состояниях и, частности, в основном 
-состоянии, когда 
, по формуле (16.2) получаем 
.
|
|
|
При классическом описании движения электрона в атоме по определенной траектории (орбите) в любом состоянии атом должен обладать ненулевым моментом импульса.
Опыт подтверждает существование квантовых состояний атома с нулевыми орбитальными моментами. Следовательно, опыт подтверждает, что только отказ от классического траекторного способа описания движения электрона в атоме позволяет правильно рассчитать и предсказать свойства атома. Вероятностный способ описания движения частиц в квантовой механике является единственно правильным способом описания свойств атомных систем - таков вывод современной физики.
Так как движущийся вокруг ядра электрон является заряженной частицей, то такое движение обуславливает протекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можно охарактеризовать орбитальным магнитным моментом 
.
|
|
|
В теории Бора, когда с позиции классической теории рассматривается круговое движение электрона по орбите радиуса 
со скоростью 
, величина орбитального механического момента равна 
. Если время полного оборота электрона 
, то такому движению соответствует замкнутый ток
,
который можно охарактеризовать величиной магнитного момента
.
Связь механического и магнитного моментов при этом определяется гиромагнитным отношением
 .
| (16.3) |
Так как заряд электрона отрицателен, то для орбитального движения направление вектора магнитного момента 
противоположно направлению вектора механического момента импульса 
(рис. 16.1).
Для расчета орбитального магнитного момента в квантовой теории следует определить пространственную плотность электрического тока 
через плотность потока вероятностей 
по формуле: 
. Плотность потока вероятности при этом можно найти, зная волновую функцию электрона в заданном квантовом состоянии атома. Точный квантовомеханический расчет гиромагнитного отношения также приводит к формуле (16.3).
|
| Рис. 16.1. |
Итак, в любом квантовом состоянии атом водорода обладает не только механическим моментом 
, величина которого определяется формулой (16.2), но и магнитным моментом.
 .
| (16.4) |
Здесь универсальная постоянная
служит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется магнетоном Бора.
Если атом переходит из одного квантового состояния в другое с испусканием (поглощением) фотона излучения, то возможны лишь такие переходы, для которых орбитальное квантовое число изменяется на единицу. Это правило, согласно которому для оптических переходов 
, называется правилом отбора. Наличие такого правила отбора обусловлено тем, что электромагнитное излучение (фотон) уносит или вносит не только квант энергии, но и вполне определенный момент импульса, изменяющий орбитальное квантовое число для электрона всегда на единицу.
3. Магнитное квантовое число 
. В квантовом состоянии с заданным значением орбитального квантового числа 
, магнитное квантовое число может принимать 
различных значений из ряда
.
Физический смысл магнитного квантового числа вытекает из того, что волновая функция 
, описывающая квантовое состояние электрона в атоме водорода, является собственной функцией оператора проекции момента импульса 
, причем
.
Поэтому, из общих положений квантовой механики следует, что проекция момента импульса электрона на выделенное в пространстве направление 
может иметь только определенные значения, равные
 .
| (16.5) |
Направление 
в пространстве обычно выделяется внешним полем (например, магнитным или электрическим), в котором находится атом.
Так как формула (16.5) квантования проекции механического момента соответствует вполне определенным направлениям ориентации в пространстве вектора (рис. 16.2), то эту формулу называют обычно формулой пространственного квантования.
С точки зрения классического представления об электронной орбите, с учетом перпендикулярности вектора к плоскости орбиты, соотношение (16.5) определяет возможные дискретные расположения электронных орбит в пространстве по отношению к направлению внешнего поля.
|
| Рис. 16.2. |
Отмеченная выше связь механического и магнитного моментов атома позволяет с учетом (16.5) записать также возможные значения проекции магнитного момента атома на выделенное направление :
 ,
| (16.6) |
зависящие от значения магнитного квантового числа 
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 360; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!