Определение взаимного положения прямой и плоскости

                                  

Задача 1 (рисунок 14)

Дано:

- Плоскость ω,заданная ∆ ABC

- прямая p

Определить взаимное положение прямой р и плоскости ω и в случае их пересечения найти эту точку.

 

Решение:

 

1) Возможны следующие случаи расположения прямой и плоскости:

a) прямая лежит в плоскости ( р € ω );

б) прямая параллельна плоскости P'≡δ'≡ ℓ '(р // ω);

в) прямая пересекает плоскость (р ∩ ω).

 

2) Анализ графического условия:

а) прямая принадлежит плоскости, если хотя бы две ее точки принадлежат плоскости. Такими точками могут являться точки пересечения прямой р' со сторонами А'С' и В'С' ∆ АВС на П1. Строим точки 1 и 2, на П₂. Если проекция р'' не проходит через точки 1'' и 2'' на П₂, значит она не лежит в плоскости ω (АВС), т.е. р не  принадлежит ω .

б) прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. В этом случае одноименные проекции прямых должны быть параллельны между собой.

Следует обратить внимание, что горизонтальные проекции р и АВ параллельны (р₁ // А₁В₁ ) , а фронтальные – не параллельны, значит прямые р и АВ не параллельны и следовательно, прямая р не параллельна плоскости ω (АВС) .

в) Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, то она пересекает эту плоскость.

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью в качестве посредника вводится вспомогательная проецирующая плоскость.

 

3) Алгоритм решения задачи:

а) через прямую р на П₁ или П₂ проводим вспомогательную проецирующую плоскость – посредник δ (δ כּ р). В рассматриваемой задаче проведена горизонтально – проецирующая плоскость, т.е. р₁ ≡ δ₁.

б) Плоскость δ пересекает плоскость ω(АВС) по прямой линии, назовем её ℓ (δ ∩ ω = ℓ). Прямая ℓ конкурирует с прямой р (р' ≡ ℓ') и лежит вместе с ней в плоскости δ. Прямые р и ℓ лежат в одной плоскости δ и пересекаются в точке К          (р ∩ ℓ = К). Но так как прямая ℓ принадлежит и плоскости ω, то точка К – общая для плоскости ω(АВС) и прямой р, т.е. она является точкой пересечения прямой р с плоскостью ω(АВС) (К = ω ∩ р).

в) На П₁ прямая ℓ' пересекает стороны плоскости ω А'С' и В'С' в точках 1' и 2'.

г) Строим данные точки на П₂ и проводим через них прямую ℓ''.

д) На П₂ находим точку пересечения прямых ℓ'' и р'' (ℓ'' ∩ р'' = К'').

е) Горизонтальная проекция точки К' определяется по принадлежности к прямой р при помощи линии связи.

ж) Символическая запись алгоритма решения:

- δ כּ р ; δ ┴ П₁ ; δ' ≡ p';

- δ ∩ ω = ℓ ; ℓ' ≡ δ' ; ℓ' כּ 1' и 2' → ℓ'' כּ 2'' и 1''

- К = ℓ ∩ p (K₂ = ℓ'' ∩ p''; K₁ כּ p').

з) Определяем видимость прямой.

- для определения видимости воспользуемся конкурирующими точками.

- на П₁ это точки 1'' и 3'. Точка 3  € р ; точка 1  € АС. Строим эти точки на П₂.

На П₁ видимой будет та точка, координаты которой по Z на П₂  больше.

В нашем случае видимой будет точка 3, которая принадлежит прямой р → на П₁ прямая р от конкурирующей точки до точки пересечения будет  видимой.

- на П₂ конкурирующие точки 4'' и 5''. Одна точка 4''  € р'' ; 5''  € В''С''.

Строим эти точки на П₁.

На П₂ видимой будет та точка, координата которой на П₁ по Ү больше; в нашем случае это точка 4'. Она расположена на р'. Отсюда следует что на П₂ от конкурирующей точки до точки врезания видимой будет прямая р''.

 

 

Рисунок 14

 

Определение натуральной величины отрезка способом перемены плоскостей

 

Сущность метода заключается в том, что положение изображаемых геометрических образов (точек, прямых, плоских фигур тел) в пространстве остается неизменным, а система плоской проекции, в которой заданы геометрические образы (старая система), заменяется новой системой взаимно-перпендикулярных плоскостей. На рисунке 15 показано, каким образом можно найти натуральную величину фронтально-проецирующей прямой АВ.

 

Нахождение натуральной величины прямой

1) На произвольном расстоянии от проекции А′B′ проводим новую ось проекций Х1.

2) Чтобы построить на новой плоскости П2′ проекции точек А и В необходимо из точек А′ и B′ провести линии связи к новой оси проекций Х1.

3) На этих линиях связи на П2′, от новой оси Х1 откладываем отрезки, измененные от старой оси Х до точек, расположенных на П2  и получаем проекции А1′′ и В1′′.

4) Соединяем эти точки, получаем натуральную величину прямой.

 

Рисунок 15

 

Контрольное задание № 2

 

1) По данным координатам (таблица 2) построить проекции плоскости и прямой.

2) Найти точку пересечения К прямой CD с плоскостью АВС

3) Определить видимость прямой.

4) Построить натуральную величину отрезка АВ способом перемены плоскостей.

3.3.1 Указания к решению контрольного задания

(Образец выполнения – рисунок 16)

 

1) Чертеж выполняется на формате А – 3.

2) Изучить темы

а) Ортогональные проекции точки.

б) Построение проекций точки по данным координатам.

3) Согласно своим вариантам, построить проекции плоскости и прямой.

4) Найти точку пересечения К прямой СD и плоскости АВС, согласно подразделу 3.1 данного пособия.

5) Определить видимость прямой, используя конкурирующие точки.

6) Найти натуральную величину отрезка АВ, изучив подраздел 3.2 данного пособия.

 

Таблица 2 – Исходные данные к контрольному заданию №2

№ варианта	Точки	Координаты			№ варианта	Точки	Координаты
		Х	Y	Z			Х	Y	Z
1	A	145	80	105	6	A	120	110	100
	B	100	0	20		B	70	10	15
	C	10	40	0		C	20	65	70
	D	90	80	10		D	130	0	50
	E	30	10	65		E	10	85	50
2	A	120	50	0	7	A	90	90	110
	B	0	75	55		B	130	10	70
	C	70	20	90		C	15	15	15
	D	30	40	20		D	120	0	105
	E	120	80	75		E	40	60	15
3	A	130	70	60	8	A	125	80	60
	B	80	10	10		B	60	10	15
	C	10	70	100		C	20	60	100
	D	120	90	10		D	125	10	35
	E	40	10	110		E	20	80	75
4	A	120	130	0	9	A	130	80	70
	B	70	0	130		B	50	10	0
	C	20	60	50		C	20	80	70
	D	120	25	40		D	120	110	20
	E	0	90	120		E	45	10	85
5	A	140	20	20	10	A	120	130	50
	B	90	120	120		B	60	50	0
	C	35	50	60		C	5	80	90
	D	155	45	90		D	110	60	95
	E	10	100	30		E	15	110	10

 

 

 

Рисунок 16

 

Пересечение поверхностей геометрических тел проецирующими плоскостями. Построение ортогональных проекций, линий среза, аксонометрических проекций и разверток поверхностей усеченных геометрических тел

Линии среза – линия пересечения поверхности геометрического тела с секущей плоскостью, а фигура среза (срез) – это плоская фигура, одновременно принадлежащая геометрическому телу и плоскости, которая его пересекает.

При построении геометрических тел со срезами условимся, что отсеченная плоскостью часть геометрического тела отбрасывается, а оставшуюся усеченную часть геометрического тела ограничивает фигура среза (срез).

---

Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 629; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!