Основное уравнения вращательного движения твердого тела.
Твердое тело — это система материальных точек, расстояние между которыми остается неизменным при взаимодействии системы с другими телами. Движение твердого тела бывает поступательным и вращательным. Всякое движение твердого тела можно представить как сумму движения названных двух типов. Покажем это для случая плоского движения, т. е. такого, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. В качестве примера плоского движения возьмем качение цилиндра по плоскости .
Скорость каждой точки цилиндра может быть представлена в виде:
где v0 — скорость поступательного движения, одинаковая для всех точек тела, а v' линейная скорость точки, обусловленная вращением тела и разная для разных точек тела. Линейная скорость точки с радиусом-вектором r:
.
Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться относительно некоторой оси (рис.). Момент импульса i-й точки тела относительно этой оси определяется формулой:
.
Выражая линейную скорость точки через угловую скорость тела и используя свойства векторного произведения, получим
Спроектируем момент импульса на ось вращения: — эта проекция определяет момент относительно этой оси. Получим
.
|
|
где zi,- координата i—точки вдоль оси Z, a Ri, — расстояние точки от оси вращения. Суммируя по всем частицам тела, получим момент импульса всего тела относительно оси вращения:
.
Величина
является моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент импульса тела относительно данной оси вращения принимает, таким образом, вид:
Mz = J·ω.
Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения.
Момент импульса. Момент силы
Мы видели, что механические свойства замкнутой системы не изменяются при ее параллельном переносе в пространстве. Это свойство является следствием однородности пространства, то есть отсутствием каких-либо выделенных точек пространства, физические свойства системы не должны изменяться также и при ее поворотах в пространстве, ввиду отсутствия в пространстве выделенных направлений, что означает изотропность пространства. Оказывается, что неизменность физических свойств системы при ее поворотах в пространстве также приводит к сохранению некоторой новой механической величины — момента импульса системы.
|
|
Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которую действуют также внешние силы. Уравнения движения частиц имеют вид:
Умножим первое уравнение векторно слева на r1, а второе на r2.
Поскольку , т.к. и F12 = ‑ F21,
Получим
.
Сложим полученные уравнения:
.
Векторы r1 - r2 и F12 коллениарны, поэтому
. .
Если система замкнута . Еще одна сохраняющаяся величина, которую называют моментом импульса.
Примеры:
Момент импульса материальной точки, движущейся по прямой, относительно оси О:
Момент импульса точки, движущейся по окружности M = mvr
Моментом силы называют
Момент силы. относительно точки О :
N = r·F·sin α = F·l
; N = R·F·sin α.
Пара сил.
Продифференцируем по времени:
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 119; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!