Действия над комплексными числами.
Если два комплексных числа складывать, перемножать или делить друг на друга, то мы получим новое комплексное число.
Пример 1. Дано z = -1 + 2i, z = 3 - 5i. Найти z + z . Решение z + z = -1 + 2 i + 3 - 5i = 2 - 3i, т.е. складываются вещественные части и мнимые части.
Пример 2 Дано z = 2 + 3i, z = -1 + i. Найти z - z . Решение z - z = 2 + 3 i –(-1 + i) = 2 + 3i + 1 – i = 3 + 2i. т.е. складываются вещественные части и мнимые части.
Пример 3 Дано z = -1 + 2i, z = 3 - 5i. Найти z * z . Решение, z * z = (-1 + 2 i )*( 3 - 5i ) = -3 + 6i +5i – 10 i² = - 3 +10 +11 i = 7+ 11 i, надо помнить, что i² = - 1.
Пример 4 Дано z = 2 - i, , = 2 + i. Найти z * .
Решение z * = (2 – i ) *(2+ i ) = 2² - i² = 4+1 = 5, где i² = -1. Произведение комплексно сопряженных чисел есть вещественное число равное сумме квадратов вещественной и мнимой частей.
Например, 1) z = 1 + i, = 1 – i, z * =1² + 1²=2
2) z = 3 + 5i, = 3 - 5i, , z * =9 + 25=34
Пример 5 Дано z = -1 + i, z = 2 - 3i. Найти z = (1 + i)/(2 - 3i). Решение z = (1 + i)/(2 - 3i) = (1+ i)(2 +3i) / (2 – 3i)(2+3i) = (2 +2i +3i +3i²)/ (4+9) = (2 – 3 + 5i)/13 =
= -1/3 + (5/13)i. Чтобы выделить вещественную и мнимую часть числа z надо числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю.
Рассмотрим еще один подобный пример.
Произвести действие, выделить вещественную и мнимую части числа
(2 + i)/(1 + 2i).
Решение. (2 + i)/(1 + 2i) = (2+ i)(1 -2i) / (1 + 2i)(1 - 2i) = (2 +i - 4i - 2i²)/ (1 +4) = (2 + 2 - 3i)/5 = (4 - 3i)/5= 4/5 - (3/5)i.
Геометрическое изображение комплексного числа z = x + iy.
|
|
|
| |||||||||
| |||||||||
|
Рис.1
Ось ох называется вещественной осью
Ось оу называется мнимой осью.
Вся плоскость хоу называется плоскостью комплексного переменного.
|
Тема 4. Аналитическая геометрия. Координатный метод. Прямая линия на плоскости.
Аналитическая геометрия - область математики, занимающаяся изучением геометрических задач методом координат. Основная идея аналитической геометрии проста: положение точки на плоскости можно описать двумя числами и, таким образом, перевести любое утверждение о точках в утверждение о числах. Основоположниками метода координат принято считать Рене Декарта (1596-1650) и Пьера Ферма (1601-1665).
Декартова прямоугольная система координат на плоскости задается так: выбираются две взаимоперпендикулярные прямые с выбранным положительным направлением на каждой прямой - оси координат, точка пересечения прямых – начало координат. Выбирается на осях координат единица масштаба.
|
|
Рис 1
Ось ох – ось абцисс.
Ось оу – ось ординат
О – точка пересечения осей, начало координат.
Положение всякой точки плоскости определяется ее расстоянием от осей координат. Эти расстояния называются координатами точки. Например, точка М имеет координаты х и у – М(х,у). Рис 1.
х – абцисса точки М, у – ордината точки М.
Координатам приписывают знаки, зависящие от расположения точки в различных частях координатной системы.
Пример. Построить точки: А(3,2); В(-1,4); С(-2,0); Д(-1,-1/2); Е(1,-1).
Рис 2.
0
Расстояние между двумя точками на плоскости М1(х1,у1) и М2(х2,у2) определяется по формуле М1М2 = (х2-х1)2+(у2-у1)2.
Например, найти АВ, если А (1,2); В (-2,-2). Используя формулу, получим АВ=корень = = = =5.
Соотношение, характеризующее зависимость между координатами х и у точек кривой называется уравнением этой кривой. Например: у+2х-1=0 – уравнение прямой, х2+у2=4 – уравнение окружности.
Координаты любой точки, лежащей на кривой, удовлетворяют уравнению кривой, а координаты точек, на кривой не лежащей, уравнению не удовлетворяют. Например, проверим лежит ли точка А (1,2) и В (0,1) на прямой у+2х-1=0. Для этого подставим координаты каждой точки в уравнение прямой.
|
|
1) А(1,2)-2+2-1 0, вывод: точка А не принадлежит прямой.
2) В(0,1)-1-1=0, вывод: точка В лежит на прямой.
Любое уравнение первой степени относительно переменных х и у, называется линейным, оно есть уравнение прямой линии.
Ах+Ву+С=0, где А, В, С – вещественные числа, есть общее уравнение прямой.
Например, х+у-1=0, у=2х, х=3, у= -1. Эти уравнения – есть уравнения прямых.
Построим эти прямые на плоскости Рис 3. Положение любой прямой определяется двумя точками. Найдем точки пересечения прямой х+у-1=0 с осями координат.
Х | 0 | 1 |
У | 1 | 0 |
А(0,1); В(1,0). Через эти точки проводим прямую.
У=2х – прямая проходит через начало координат, т.к. координаты начала О(0,0) удовлетворяют уравнению прямой, подберем точку С(1,2) – лежащую на прямой, проведем прямую через точки О и С. Рис 4.
0
Прямая х=3 параллельна оси оу, прямая у=-1 параллельна оси ох. Рис 5.
| |||||
|
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 187; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!